Determine $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Entiendo cómo crear una caja a partir de [-1,1] de amplitud 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
la solución que estoy viendo dice que $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
No entiendo de dónde vino $ \ sin $ desde y con los que los valores de 2 se correlacionan. He visto pruebas, pero ¿alguien puede proporcionar una explicación simple de cuáles son las variables? Gracias
Respuesta
Se puede generar una función triangular convolucionando dos funciones de cuadro como se muestra a continuación.
De aquí proviene el Paso 2.
La transformada de Fourier de una convolución $ g (t) \ ast g (t) $ se puede calcular multiplicando la transformada de Fourier de $ g (t) $ consigo misma, es decir, $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Recuerde que la transformada de Fourier de una La función box es una función Sinc ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Por lo tanto, $ G (w) $ es una versión escalada de una función sinc, y la transformada de Fourier de la función triangular es $ G (w) ^ 2 $.
Respuesta
Bien, entonces entiendes que la señal $ x (t) $ viene dada por la convolución de dos funciones rectangulares que se extiende desde $ -1 $ a $ 1 $ con una altura de $ 1/2 $. Lo único que queda por hacer es determinar la transformada de Fourier de esta función rectangular. Puede hacer esto muy fácilmente aplicando la definición de la transformada de Fourier:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Estoy seguro de que puedes resolver esta integral tú mismo. la función seno entra en juego porque
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Finalmente, la transformada de Fourier de $ x (t) $ viene dada por
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Respuesta
Las funciones base en la Transformada de Fourier son Seno y Coseno. No debería sorprenderte que la función Sin apareciera en tu análisis de una señal compleja.