Bestimmen Sie $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Ich verstehe, wie man eine Box aus [-1,1] mit der Amplitude 1/2 erstellt.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
Die Lösung, die ich sehe, besagt, dass $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Ich verstehe nicht, woher $ \ sin $ kam von und dass die Werte der 2s mit korrelieren. Ich habe Beweise gesehen, aber kann jemand eine einfache Erklärung geben, was die Variablen sind. Danke
Antwort
Eine Dreiecksfunktion kann durch Falten zweier Boxfunktionen wie unten gezeigt generiert werden.
Hier kommt Ihr Schritt 2 her.
Die Fourier-Transformation einer Faltung $ g (t) \ ast g (t) $ kann berechnet werden, indem die Fourier-Transformation von $ g (t) $ mit sich selbst multipliziert wird, dh $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Erinnern Sie sich daran, dass die Fourier-Transformation von a Die Box-Funktion ist eine Sinc-Funktion ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Daher ist $ G (w) $ eine skalierte Version einer sinc-Funktion, und die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ist $ G (w) ^ 2 $.
Antwort
OK, Sie verstehen also, dass das Signal $ x (t) $ durch die Faltung zweier Rechteckfunktionen gegeben ist erstreckt sich von $ -1 $ bis $ 1 $ mit einer Höhe von $ 1/2 $. Sie müssen nur noch die Fourier-Transformation dieser Rechteckfunktion bestimmen. Sie können dies sehr einfach tun, indem Sie die Definition der Fourier-Transformation anwenden:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Ich bin sicher, Sie können dieses Integral selbst lösen Die Sinusfunktion kommt ins Spiel, weil
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Schließlich ist die Fourier-Transformation von $ x (t) $ gegeben durch
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Antwort
Die Basisfunktionen in der Fourier-Transformation sind Sinus und Cosinus. Sie sollten sich nicht wirklich wundern, dass die Sin-Funktion bei Ihrer Analyse eines komplexen Signals aufgetreten ist.