Minulle annettiin kotitehtäviin liittyvä ongelma, jossa meidän oli laskettava aika, jolloin putoava esine saavuttaa tietyn nopeuden laskettaessa vetovoimaa. Tein sen asettamalla kiihtyvyyden nopeuden funktiona ja integroimalla (se oli differentiaaliyhtälö).
Tämä on kuitenkin fysiikan johdantokurssi, johon ei tarvita tietoa laskemisesta. Emme ole vielä tehneetkaan johdannaisia tarkkaan ottaen. Olin onnekas, että otin laskun aikaisemmin, joten olin pystyy tunnistamaan ja ratkaisemaan differentiaaliyhtälön.
Kun kysyin luokkatovereiltani, kuinka he tekivät, he sanoivat, että he sekoittivat numeroita, kunnes saivat jotain, joka toimi (se oli verkossa, vääristä vastauksista ei vähennetty pisteitä) Suurimmalle osalle he vain jakavat terminaalisen nopeuden kiihtyvyydellä painovoiman takia, mikä ei ole järkevää, koska emme edes pyytäneet terminaalinopeuden saavuttamiseen käytettyä aikaa, mutta 63% siitä. Tämä menetelmä sattui pyöristymään samaan numeroon kuin oikea.
Kysymykseni on, onko jokin tapa löytää tämä arvo perusfysiikan avulla, vai tekikö professorini meille epäoikeudenmukaisen ongelman? Teknillisistä neuvojista ei ole apua, ja minulla on oppitunti hänen toimistonsa aikana.
Itse kysymys on seuraava:
4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg sadepisaran terminaalinen nopeus on noin 9 m / s. Olettaen, että vetovoima $ F_D = −bv $, määritä aika, jonka tällaiselle pudotukselle tarvitaan lepotilasta 63: n saavuttamiseen % päätteen nopeudesta.
Kommentit
- Koska vastaus sisältää eksponentiaalisen / logaritmin yhteen suuntaan tai jokin muu, on kehitettävä jonkinlainen ratkaisu, joka sisältää eksponentiaalisen / logaritmin. Valitse myrkkysi … Minusta tuntuu, että se ' on jonkin verran likiarvoa.
- Luulen, että logaritmeja sisältävä ratkaisu olisi reilu peli. Me ' odotamme melkein tietävän sen. Ongelmana on, että voin ' t ajattelen elämäni ajaksi mitä tahansa tapaa tehdä niin, johon ' ei liity differentiaaliyhtälöä. Ehkä minä t ' s koska olen ' tottunut tekemään ongelmia tällä tavoin laskun ottamisen jälkeen. Jos joku keksii toisen menetelmän, se olisi erittäin arvostettua.
- Se ' kertoi mahdollisesti, että 63% on $ 1 – e ^ {- 1} $
vastaus
Jos vetovoimaa mallinnetaan lineaarisena nopeuden $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, niin ongelma on yksinkertainen . Putoavan pisaran pystysuuntainen voimatasapaino on $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$, joka antaa nopeudelle seuraavan differentiaaliyhtälön: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ Suurimman nopeuden / nollakiihtyvyyden $ (\ dot {v} = 0) $ rajoittavassa tapauksessa voimatasapaino yksinkertaistuu arvoon $$ mg = bv_ {max} , $$ tai $$ \ laatikossa {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Palaten takaisin differentiaaliyhtälöön, jos alkunopeus $ v (0) = 0 $, niin ratkaisu tämä ODE on $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Määrittelemällä aikavakio arvoksi $ \ tau = \ frac { m} {b} $ ja käyttämällä päätteen nopeuden määritelmää, nopeuden aikakehitys yksinkertaistuu arvoon $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ Sijainti voidaan haluttaessa löytää riittävän helposti suorittamalla toinen integrointi: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Olettaen, että alkuasento $ y (0) = 0 $ ja yksinkertaistamalla, pystysuoran sijainnin ratkaisu on sitten $$ \ ruutuun merkitty {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ vasen [e ^ {-t / \ tau} -1 \ oikea]}. $$ Joten meillä on nyt analyyttiset ratkaisut putoavan kohteen kiihtyvyyteen, nopeuteen ja sijaintiin ajan ja järjestelmän parametrien funktiona, jotka kaikki tunnetaan ( paitsi $ b $). Huomaa kuitenkin, että pyydetty aika nopeuden $ 0.63v_ {max} $ saavuttamiseksi ei ole mielivaltainen. Kun yksi aikavakio on kulunut, meillä on $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ Siksi meidän on yksinkertaisesti laskettava aikavakion arvo ja tuloksena oleva arvo on vastauksesi. Luokkatovereidesi suhteen he eivät ole väärässä. Tavoitteenamme on laskea $ \ tau $, ja jos tarkastelet huolellisesti aikaisempaa matematiikkaamme, huomaat, että $ \ tau $ on todellakin yhtä suuri kuin terminaalinen nopeus jaettuna $ g $: lla. Oktaavikaaviot sijainnista, nopeudesta ja kiihdytyksestä ovat alla viitteenä (korvaa $ k $ luvulla $ b $ toisessa juovassa).
kommentit
- Kyllä, meille ei koskaan opetettu yhtälö, johon linkitit. Mutta kiitos, tämä on melkein mitä etsin.Halusin vain tietää, onko tämän kysymyksen ratkaisemisessa yleisempi menetelmä, jonka meidän piti pystyä selvittämään, ja näyttää siltä, että vastaus on ei.
- @JakeChristensen Voi vielä olla toinen tapa löytää vastauksesi, mutta muista, että Calculus (ainakin Newton ' s Calculus) keksittiin fysiikan ongelmien ratkaisemiseksi 😉
vastaus
Tyypillisesti vetäminen on verrannollinen nopeuden neliöön, joten alaspäin kiihtyvyys on
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Tällaisen liikkeen ratkaisu on $$ \ begin {tasattu} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ oikea) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ oikea) \ end {tasattu} $$
Liitä siis nopeus $ v $ , johon haluat kohdistaa, ja se antaa sinulle etäisyyden $ x $ ja $ t $ päästäksesi siihen.
PS. Jos et tiedä vetoparametria $ \ beta $ , mutta tiedät sen sijaan huippunopeuden, voit arvioida sen huippunopeudesta ratkaisemalla $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Vastaa
1) Etsi vetovoima päätteen nopeudesta. 2) Kerro tämä voima 0,63: lla (63%) 3) Jaa tämä uusi voima sadepisaran massalla 4) Käytä nopeuden kiihdytysaikaa kinematiikan yhtälö ajan ratkaisemiseksi $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
kommentit
- Tämä ei ole ' oikea. Oletat, että kiihtyvyys on vakio (jota ei nimenomaisesti ole missään kysymyksessä, joka koskee nopeuden ja ilmanvastuksen muuttamista) I ' m olettaen, että $ a (t) $ tarkoittaa $ a * t $, koska jos tarkoitat $ a $: n funktiona $ t $, jolla ei ole mitään järkeä kaikki.