Lähestymistavassani on oltava perusteellinen virhe. Aloitetaan sanomalla, että meillä on yksinkertainen regressio kahdella muuttujalla $ X_t $ ja $ Y_t $:
$ Y_t = BX_t + e_t $
Missä $ B $ on kerroin ja $ e_t $ on virhetermi. Ota sitten mainitun yhtälön ensimmäinen ero poistamalla $ Y_ {t-1} $ molemmilta puolilta:
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t – Y_ {t-1} $
Korvaa $ Y_ {t-1} $ ensimmäisestä yhtälöstä:
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t -BX_ {t-1} -e_ {t-1} $
=> $ ΔY_t = BΔX_t + Δe_t $
Ensimmäinen ero-regressio esitetään usein tällä tavalla, mutta sitten kun se todella suoritetaan, se suoritetaan korvaamalla $ X_t $ ja $ Y_t $ niiden eroilla eikä vähentämällä $ Y_ {t-1} $ molemmilta puolilta:
$ ΔY_t = B_1ΔX_t + v_t $
Missä $ v_t $ on yhtälön uusi virhetermi. Nämä menettelyt eivät ole vastaavia, joten miksi niitä kuvataan sellaisiksi? Miksi ensimmäisen eromallin virhetermi on usein kuvataan nimellä $ \ Delta e_t $, kun samoin tämä ei ole totta, koska virhetermi ei liity alkuperään virhetermi, koska arvioitu yhtälö on yksinkertaisesti erilainen. Lopuksi, miksi ”ensimmäinen ero regressio suoritetaan vähentämällä $ Y_ {t-1} $ molemmilta puolilta, jolloin saadaan yhtäläiset tulokset ensimmäiselle yhtälölle (tässä tapauksessa ilman poikkileikkauspaneelin tietoja)?
vastaus
Itse asiassa nämä kaksi menettelyä ovat samat. Ero $$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + \ Delta \ epsilon_t $$ ja $$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + v_t $$ on, että voit arvioida toisen, mutta et ensimmäisen, koska et tarkkaile $ \ epsilon_t $. Joten ensimmäinen yhtälö on pikemminkin teoreettinen malli, kun taas toinen on arvioiva yhtälö, jota käytät käytännössä. Jos haluat vähentää suoraan $ Y_ {t-1} $ molemmilta puolilta manuaalisesti, tämä voidaan tehdä vain, jos havaitset todelliset virheet. Huomaat, että $ v_t $ on arvio arvosta $ \ epsilon_t $. Järjestä teoreettinen malli ja regressioyhtälö uudelleen, jos $ \ Delta Y_t – B \ Delta X_t = \ Delta \ epsilon_t $ ja $ \ Delta Y_t – B \ Delta X_t = v_t $, on oltava totta, että $ \ Delta \ epsilon_t = v_t $. Tarkastellaan yksinkertaista esimerkkiä, jossa kaksi ajanjaksoa ja $ B = 0,3 $ ovat vakiona ajan myötä.
$$ \ begin {array} {c | lc | r} time & Y_t & X_t & Y_t – BX_t = v_t \\ \ hline 1 & 10 & 17 & \\ 2 & 13 & 21 & \\ \ hline \ Delta & 3 & 4 & 3 – 0,3 \ cdot 4 = 1,8 \ end {array} $$
Oletetaan, että $ v_t $ oli johdonmukainen arvio arvosta $ \ epsilon_t $ jaksot (mikä on totta, koska olemme määrittäneet tiedon generointiprosessin deterministisesti korjaamalla $ B $), niin $ \ widehat {v} _t = \ Delta \ epsilon_t = 1,8 $ on jäännös toisesta regressiostamme estimaattina ensimmäisen yhtälön virhe.
Kommentit
- En voi ' t En voi vain arvioida ensimmäistä mallia vähentämällä havaittavia viivästyneitä arvoja Y: n molemmilta puolilta sen sijaan, että vähennettäisiin Y: n viivästettyä arvoa vasemmalta puolelta ja X: n viivästettyä arvoa oikealta puolelta. Ei tarvitse laskea havaitsematonta virhettä tällä tavalla (vaikka uskon, että se on myös mahdollista). Minusta näyttää siltä, että olet ottanut eron pois olettamalla saman beeta-kertoimen. Kyllä, virheet ovat yhtä suuria, jos kerroin sattuu olemaan sama. Mutta se ei ole tavallinen tapaus. Siksi integroitumismallit ovat niin tärkeitä …
- Oletitte, että $ B $ on vakio myös ajan myötä, koska sillä ei ole aikatiedostoa. Ja yleensä et voi vain vähentää $ Y_ {t-1} $ molemmilta puolilta, koska sinun on tarkkailtava $ e_t $.
- Lopullisessa yhtälössä on alaindeksi virhetermillä Vt. Näiden kahden yhtälön arvioiminen ei ' t johda samaan beetaan.
- Entä mitä $ B_1 $ tarkoittaa? Jos $ B $ ei ole ' t vakio, et voi erottaa ajanjaksoja tavallasi, koska $ B_2 X_t – B_1 X_ {t-1} = (B_2 – B_1) \ Delta X_t $.
- Kyllä, voin, koska arvioitu kerroin on täsmälleen sama ensimmäisessä ja toisessa yhtälössä (jos lähtöarvot ovat 0 – minkä oletin), niin ei ole lopullisen yhtälön (siten b1) kanssa. Mutta tässä on tärkeä asia, jos luen teidät oikein, että ensimmäinen ero-regressiomenetelmä olettaa, että B ' s eroavat ja tasot yhtälöt ovat samat … mikä on selvästi ei todellisessa elämässä. Erojen arviointi on täysin erilainen asia kuin arviointi tasoissa …