Etsi h [n] DTFT-ominaisuuksien avulla

Kun tämä on valintasi mukaan tekemäsi kotitehtäväsi (ja melko yksinkertainen), puren. Muistan DTFT: n määritelmän:

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

Ja palauta mieleen taajuusvasteen $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

missä $ x [n ] $ on järjestelmän tulo ja $ y [n] $ on sen lähtö. Yhdistä nämä kaksi yhtälöä:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Suorita nyt käänteinen DTFT yhtälön molemmille puolille. Määritelmän mukaan $ X (\ omega) $ ja $ x [n] $ ovat muunnospari; samoin kuin $ Y (\ omega) $ ja $ y [n] $. Muista kaksi muuta termiä muistelemalla DTFT: n aikaa siirtävä ominaisuus :

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

joka voidaan näyttää helposti DFT: n määritelmästä. Tätä ominaisuutta käyttämällä yhtälö käänteinen muuntuu järjestelmän eroyhtälö -määrittelyksi:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Tämä on rekursiivisen suodattimen määritelmä, joka on yleensä IIR; näin on tässä. Impulssivasteen löytäminen on helppoa; anna $ x [n] = \ delta [n] $ ja huomaa, että järjestelmän ulostulo on:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Yllä oleva on piirretty hintaan $ a = 0,99 $. On huomattava, että järjestelmä on vakaa vain $ | a | \ le1 $.

Kommentit

• I ' ve yritti laskea impulssivasteen, mutta sotkeutui. Voisitko näyttää miten se ' onnistui? kiitos.

$$ \ begin {tasaa *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Koska impulssivaste ulottuu arvoon $ \ infty $, tämä on IIR-suodatin. JasonR toteaa vastauksessaan, että suodatin on vakaa vain, jos $ | a | < 1 $. Itse asiassa suodatin on vakaa, kun $ | a | \ leq 1 $, ja on epävakaa vain $ | a | > 1 $. Kuitenkin, kun $ | a | = 1 $, geometrisesta sarjakaavasta $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, saadaan, että $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ on (vakaa) FIR -suodattimen siirtofunktio, jota voidaan kuvata lyhytaikaiseksi integraattoriksi tai lyhytaikainen keskiarvo (voitto $ 4 $).

Kommentit

• Hieno vaihtoehtoinen johdannainen. Korjasin myös vastauksessani vakausvaatimukseni.