Fock-tilan merkitys

Oletetaan, että sinulla on järjestelmä, jonka kuvailee Hilbert-välilyönti $ H $ , esimerkiksi yksi hiukkanen. Hilbert-avaruus, jossa on kaksi samanlaista ei-vuorovaikutuksessa olevaa hiukkaa kuin mitä $ H $ kuvaa, on yksinkertaisesti tensorituote

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Yleensä $ N $ hiukkasia kuten yllä, Hilbert-tila on

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

jossa $ H ^ 0 $ määritellään nimellä $ \ mathbb C $ (eli $ H $ ) taustalla oleva kenttä.

QFT: ssä on operaattoreita, jotka kietoutuvat eri $ H ^ N $ s, eli luo ja tuhoaa hiukkasia. Tyypillisiä esimerkkejä ovat luomis- ja tuhoamisoperaattorit $ a ^ * $ ja $ a $ . Sen sijaan, että määritettäisiin ne toiminnan perusteella jokaisessa $ H ^ N $ ja $ H ^ M $ , annetaan antaa " kattava " -määritys suuremmalle Hilbert-avaruudelle, joka määritetään ottamalla kaikkien monien suora summa hiukkasten välilyönnit, nimittäin

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

tunnetaan nimellä $ H $ Fock Hilbert -tilana ja toisinaan myös nimellä $ e ^ H $ .

Fyysisestä näkökulmasta yllä oleva Fock-tilan yleinen määritelmä on merkityksetön. Identtisten hiukkasten tiedetään tarkkaavan tiettyjä (para) tilastoja, jotka pienentävät todellista Hilbert-tilaa (symmetrisoimalla / antisymmetrisoimalla bosonisen / fermionisen tapauksen jne …).

Kommentit

• Erinomainen vastaus! Toivon, että he kirjoittavat QFT-oppikirjat näin.

Hyvät vastaukset, mutta vain täydellisyyden vuoksi ehkä se on havainnollistava esimerkin saamiseksi.

Oletetaan, että $ H ^ 1 $ sisältää joitain yhden hiukkasen tiloja $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $ jne. Fock-tila poistaa rajoituksen on yksi partikkeli, ja se koostuu $ H ^ 0 $ (joka on 1-ulotteinen), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $ jne. sallii tilat, kuten

• tyhjiötila, sanotaan sitä tyhjäksi ket $ | \ rangle $,
• kaikki yksittäiset hiukkastilat, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• kaikki kahden hiukkasen tilat, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (Huom. että tämä rakenne pitää niitä erottuvina),

mutta mikä tärkeintä

• mikä tahansa yllä olevan päällekkäisyys , kuten $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ vasen (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ oikea) $.

Tämä tila on luonnostaan ääretön ulottuvuus, vaikka aloittaisit jotain pieneltä kuten qubit. Jos haluat kuvitella tuloksen perustan avulla, yhdistä yksinkertaisesti kaikkien komponenttien perustilat:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

vähiten triviaalissa asetuksessa yksittäisellä hiukkasella ei todellakaan ole erillisiä tiloja, joten $ H ^ 1 $ on 1-ulotteinen. On silti järkevää valita vertailutila $ | {} \ circ {} \ rangle \ H ^ 1 $: ssa ja rakentaa Fock-tila perusteella

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

esimerkki tilasta voi olla esimerkiksi yhtenäinen tila

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

ja sinulla on hieno esimerkki siitä, miksi ihmiset voivat puhua herätyksistä kuin ”foneista” harmonisessa oskillaattorissa, vaikka heilahtelisi vain yksi hiukkanen!

Kyllä, kyllä. Rakennat ”suuren” Hilbert-tilan ”pienistä”, jos haluat.