Joten meillä on Frobeniuksen sisäinen tuote $ {\ bf R} ^ {n \ kertaa p} $: ssa antaa $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
joka voidaan tulkita euklidiseksi sisäiseksi tuotteeksi $ {\ bf R} ^ {np: ssä } $. Ymmärrän, että kaikki $ {\ bf R} ^ {np} $: n sisäiset tuotteet voidaan kirjoittaa muodossa $$ a ^ TPb $$, kun $ P $ positiivinen-määrätty. Parasta, mitä voisin yrittää laajentaa Frobeniuksen sisäistä tuotetta tuotteessa $ {\ bf R} ^ {n \ kertaa p} $, on jotain muotoa $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $ $ hintaan $ X_i \ sisään {\ bf R} ^ {m_i \ kertaa n} $ ja $ Y_i \ sisään {\ bf R} ^ {p \ kertaa q_i} $ kaikki täysi sijoitus. Haluaisin kuitenkin tietää, kattaako tämä kaikki dollarin $ {\ bf R} ^ {np} $ sisäiset tuotteet, tai ehkä se on monimutkaisempi kuin tarpeellinen irtisanomisista johtuen.
Voin löytää vastaava $ P $ -matriisi mille tahansa matriisin sisäiselle tuotteelle ottamalla $ {\ bf R} ^ {n \ kertaa p} $ -standardin perusta ja muodostamalla matriisi
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
mutta en tiedä, kattaako yllä annettu matriisin sisemmän tuotteen yleinen muoto kaikki positiivisen-määritellyn matriisit $ P $.
Päivitys:
tämän kysymyksen uudempi versio MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
kommentit
- Tervetuloa SciComp.SE: lle! Tämä on mielenkiintoinen kysymys, mutta näyttää siltä, että se on sopivampi osoitteeseen math.stackexchange.com . (Ellei ’ sa ole yhteyttä laskennalliseen tiedeongelmaan, I ’ m puuttuu, jolloin se ’ d on hyvä, jos voisit lisätä sen.)
- @ChristianClason, se ’ liittyy optimointiin matriisijakotukissa Riemannin-metriikan kanssa, koska mittarit ovat tangenttitilan sisäisiä tuotteita. ’ on melkein varmasti liian edistynyt Math.SE: lle, ainoa sopiva paikka olisi MathOverflow. Olen itse asiassa löytänyt mielestäni ratkaisun, johon voin lähettää vastauksen, kun teen sotkuisen työn osoittaakseni, että se on ratkaisu, mutta jos ’ haluaisit siirtyä tämä MathOverflow: lle ’ m ok.
Lisään optimointikontekstin, kun saan mahdollisuuden.
Vastaus
Voit nähdä sisäisen tuotteen operaationa $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, ts. se on bilineaarinen funktio, joka (i) palauttaa ei-negatiivisen luvun, (ii) täyttää suhteen $ f (a, b) = f (b, a) $.
Vektorien $ a, b \ sisällä \ mathbb R ^ n $ kaikki nämä lineaariset funktiot, jotka täyttävät nämä ominaisuudet, voidaan kirjoittaa muodossa $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$, jossa $ P $ on symmetrinen ja positiivinen selvä. Matriiseille $ a, b \ sisään \ mathbb R ^ {n \ kertaa p} $ kaikki tällaiset funktiot voidaan kirjoittaa muodossa $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$, jossa nyt $ P $ on 4-tason tensori, joka on symmetrinen siinä mielessä, että $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ ja positiivinen selvä siinä mielessä, että $ f (a, a) > 0 $ kaikille $ a \ neq 0 $: lle.
Kysymyksesi on voidaanko jokaiselle tällaisten ehtojen täyttävälle $ P $: lle kirjoittaa muoto, joka saadaan vektorista $ X_i, Y_i $. Uskon, että vastaus tähän ei ole. Tämä johtuu yksinkertaisesti siitä, että (yksinkertaisuuden vuoksi olettaen, että $ n = p $) symmetrisellä $ P $: lla on (asymptoottisesti) $ n ^ 4/2 $ vapausastetta, kun taas $ n $ -vektoreilla $ X_i, Y_i $ on vain $ 2n ^ 2 $ vapausastetta. Toisin sanoen, en usko, että riittävän suurille $ n $: lla lähestymistavallasi on riittävän monta vapausastetta.
Kommentit
- I uskon itse asiassa vastauksen kyllä, minä ’ aion lähettää tämän kysymyksen uudelleen matematiikan ylivuotoon päivitetyillä tuloksillani.
- Kyllä argumenttisi siitä, että parametrien # määrä kasvaa kvarttisesti vektorin sisäisessä tuotetilassa, kun taas matriisissa vain neliöllisesti sisäinen tuotetila on pakottava, mutta koska tila on viime kädessä rajallinen, meidän pitäisi pystyä voittamaan tämä lisäämällä $ N $ sopivasti.
- Anteeksipyyntönne, että lähetin uudemman version tästä kysymyksestä MathOverflowlle, mutta se ’ päivitettiin riittävän ajattelin, että pidän sopivana, tässä on linkki, jos haluat siirtää vastauksesi sinne tai päivittää vastauksesi uudemman version perusteella. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Huomaa, että @ ChristianClason neuvoi voit lähettää kysymyksesi osoitteeseen math.stackexchange.com, ei osoitteeseen mathoverflow.net. Nämä ovat kaksi eri sivustoa, joilla on eri tarkoitukset ja yleisö.
- @FedericoPoloni kyllä tiedän, ja jos luit kirjoittamani, sanoin hänelle, että ajattelin, että se oli liian edistynyt Math.SE: lle ja tuskin saisi vastauksen.