Olen vaivautunut neljän nopeuden määrittelyn takana olevaan motivaatioon. Schutzissa Ensimmäinen kurssi Yleinen suhteellisuusteoria , hän käyttää tangenttivektorin käsitettä hiukkasen maailmanlinjan kussakin kohdassa, jonka antaa $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Ja myöhemmin hän toteaa, että
\ begin {yhtälö} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {yhtälö}
Matemaattinen selitys, jonka löysin oikean ajan käytöstä parametrina, jonka kaikki tarkkailijat ovat yhtä mieltä, mutta en voi ymmärtää, mitä ongelmia saamme tämän määritelmän sijaan, vaan käytämme suhdetta
\ begin {yhtälö} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {yhtälö}
missä $ t $ on ajanmittaus joissakin inertiakehyksessä S.
Kommentit
- En ' usko, ettet ' kysyisi tätä kysymystä euklidisessa avaruudessa. Harkitse käyrää $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Sitten voidaan kirjoittaa tangenttivektorit muodossa $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. TAI voisimme noudattaa viimeksi mainittua ehdotustasi ja käyttää $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Tangenttivektori osoittaa edelleen oikeaan suuntaan, mutta ei pitkään r on hienosti määritelty ja määritelmä ei enää salli sinun kiertää tavalla, joka sekoittaa koordinaatit, koska se erottaa dollarin $.
- Eikö kirja selitä jossain, että nelinopeus on määritelty tällä tavoin niin, että se on Lorentzin nelivektori?
- @ jacob1729 voinko antaa minulle esimerkin? Olen ' hämmentynyt tähän aiheeseen
vastaus
@Milan vastasi jo määrittelysi teknisiin ongelmiin.
Haluan tuoda esiin käsitteellisiä ongelmia. Haluamme, että 4-nopeus jotenkin luonnehtii kohteen liikettä avaruudessa. Käsitteellisesti on järkevää vaatia, että tällainen määrä riippuu vain määristä, joilla on suora yhteys kyseiseen liikkeeseen. Joten satunnaisen tarkkailijan ajan tuominen, jolla ei ole mitään tekemistä kohteen liikkeen kanssa, olisi käsitteellisesti outoa päätöstä. On järkevää määritellä 4-nopeus tangenttivektorina esineiden maailmanlinjalle, koska tämä matemaattinen kokonaisuus on suoraan yhteydessä sitä ja siten myös esineiden liikkeitä. Tietysti tarvitsemme jonkin verran maailmanlinjan parametrointia, mikä olisi ihanteellisesti luonnollista itse maailmalle / liikkumiselle eikä riipu mistään ulkoisista suuruuksista. Koska aika-ajassa kaikilla esineillä on omat kellonsa, tämä käyrä on luonnollisesti parametrisoitu itse objektin kellolla, eli sen oikeaan aikaan.
Huomaa, että tällä tavalla sinun ei tarvitse puhua Lorentz-ryhmästä ollenkaan. Kun opin ensimmäisen kerran 4-nopeudesta, päätös käyttää oikea aika johdannaisessa tuntui minulle satunnaiselta päätökseltä vain jonkin Lorentz-4-vektorin tekemiseksi. Mutta sillä on itse asiassa syvemmät geometriset syyt, kuten yritin selittää.
Kommentit
- Voitteko suositella relatiivisuusteosta, joka selittää nämä aiheet kuten selitit?
- @Lil ' Painovoima ei oikeastaan, mutta voin antaa sinulle kolme kirjaa, jotka erottuvat minulle henkilökohtaisesti. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitaatio selittää yleisen suhteellisuusteorian ja differentiaaligeometrian hyvin intuitiivisella tasolla – yhdessä fyysisten motivaatioiden kanssa suurimmasta osasta matematiikkaa. Wald – Yleinen suhteellisuusteoria on loistava kirja muodollisemmalle, geometrisemmalle lähestymistavalle, jotta näet selkeästi, miten käsitteet määritellään abstraktisti ilman koordinaattijärjestelmää. Sitten on Fecko – differentiaaligeometria ja Lie-ryhmät fyysikoille, joita pidän parhaana oppikirjana differentiaaligeometriasta.
Vastaus
Ensimmäinen määritelmä muuttuu nelivektoriksi: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
Toinen määritelmä muuntuu ei aivan nelivektorina: $ \ dfrac {dx ^ {”\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt ”} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Tämä on järkevää, koska ensimmäisessä määritelmässä jaat nelivektorin (joka itse muunnetaan myös neljänä) erotukset -vektori) skalaarilla (invariantti Lorentz-ryhmän alla).