Gammajakauman odotettu arvo

Oletetaan, että kosketat gammajakauman satunnaismuuttujaa, jonka muoto on $ \ alpha > 0 $, ja arvostele $ \ beta > 0 $ parametreja, eli $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, löydät $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ seuraavalla tavalla:

Kaikille jatkuvan jakauman satunnaismuuttujille X (kuten Gamma), joiden $ f $ tarkoittaa todennäköisyystiheysfunktioitaan (esimerkissäsi $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alfa)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) ja mille tahansa tämän muuttujan toiminnolle $ g $ (sinun tapauksessasi $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), se pitää sisällään: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

Esimerkissä se yksinkertaistaa paljon (kiinnitä huomiota kohtaan $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ Murtoluku ei riipu arvosta $ x $ , joten se voidaan sijoittaa integraalin ulkopuolelle.

Muuten, diskreetti jakelu on hyvin samanlainen: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ summa \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {where} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {tarkoittaa X: n tukea (arvo voi kestää)} $$

---

En pidä sinua enää jännityksessä. Muista ensin, että $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Olkoon $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Näiden kahden tuloksen yhdistäminen suoraviivaiseksi havainnoksi: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Peräkkäin: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Kun käytät tätä kahdesti, saat tuloksen :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ Viime kädessä (kuten $ f _ {\ alpha-2} (x) $ on myös PDF, joka integraali on yhtä suuri kuin $ 1 $): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Tämä yllä oleva ratkaisu on tarkoitettu tähän tapaukseen, mutta kuten whuber huomautti , yleisempi tapaus todellisille ja positiivisille $ p \ in \ mathbb {R}, ~ p > 0 $ se sisältää: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Kommentit

• @TJ Phu Kerro meille, mitä sinulla todella on ongelmia, ehkä tämän integraalin laskemisella? Joka tapauksessa, ilmoita siitä meille. Yritä kuitenkin seurata gung – ja Silverfish -kommentteja ja parantaa kysymyksen yleistä asettelua.
• @TJ Phu Ehkä ensimmäinen huomautukseni raaka-aineista integraatio oli hieman harhaanjohtava. Kerro minulle, ymmärrätkö täysin ratkaisuni (yksinkertaisesti hyväksymällä / rasti vastaukseni tai valintani).

Menen laiskalla tavalla: aloittamalla määritelmällä ja katsomalla kovasti mitä seurauksena on, katso onko joku jo osoittanut minulle vastauksen. Seuraavassa laskutoimituksia ei tarvita lainkaan, ja algebran noudattamiseen vaaditaan vain yksinkertaiset (eksponenttien ja integraalien) säännöt.

---

Aloitetaan ”Gamma-jakaumalla”.Valitse mittayksikkö $ X $ , jossa $ \ beta = 1 $ , jotta voimme sanoen $ X $ on $ \ Gamma (\ alpha) $ -jakauma. Tämä tarkoittaa, että tiheys on positiivinen vain positiivisten arvojen kohdalla, joissa todennäköisyystiheyselementin antaa

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Jos olet utelias, lauseke $ dx / x $ selitetään osoitteessa https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Jos et pidä siitä, korvaa $ x ^ \ alpha dx / x $ sanalla $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Muista, että normalisointivakio on olemassa $ f_ \ alpha (x) dx: n integraalin tekemiseksi. $ unity, mistä voimme päätellä, että

$$ \ begin {aligned} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alfa )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {tasattu} \ tag {1} $$

Sillä ei ole väliä mikä numero $ \ Gamma (\ alfa) $ todellisuudessa on. Riittää nähdä, että se on hyvin määritelty ja äärellinen $ \ alpha \ gt 0 $ ja muuten eroaa.

Kääntykäämme nyt odotussääntöjä. Tajuttoman tilastotieteilijän ” laki ” kertoo minkä tahansa $ X $ -funktion odotuksen , kuten $ X ^ p $ jollekin power $ p $ (joka yleensä on positiivinen, mutta voi olla negatiivinen ja jopa monimutkainen), saadaan integroimalla $ x $ -funktio tiheyteen:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

---

On aika tuijottaa. Integraali huomioimatta integraali on riittävän yksinkertainen lauseke. Kirjoitetaan se uudelleen algebran sääntöjen avulla ja siirretään prosessin aikana $ 1 / \: n vakioarvo. Gamma (\ alpha) $ integraalista:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Sen pitäisi näyttää hirvittävän tutulta: it ” s aivan kuten toinen Gamma-jakautumistiheysfunktio, mutta teho $ p + \ alpha $ $ \ alpha $ sijaan väli>. Yhtälö $ (1) $ kertoo meille heti ilman muita ajatuksia tai laskelmia, että

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alfa). $$

Liittämällä tämä $ (2) $ oikealle puolelle saadaan

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Näyttää siltä, että meillä olisi parempi olla (todellinen osa) $ p + \ alpha \ gt 0 $ , jotta tämä lähentyisi, kuten aiemmin todettiin.

---

Kaksinkertaiseksi tarkistukseksi voimme käyttää kaavamme laskeaksesi ensimmäiset hetket ja verrata niitä esimerkiksi sanoihin Wikipedia sanoo . Keskiarvolle saadaan

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

ja toiselle (raakalle) hetkelle

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

Tästä syystä varianssi on $$ E \ vasen (X ^ 2 \ oikea) – E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1) – \ alpha ^ 2 = \ alpha. $$

Nämä tulokset sopivat täydellisesti viranomaisen kanssa. Lähentymisongelmia ei ole, koska koska $ \ alpha \ gt 0 $ , molemmat $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ ja $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

---

Voit nyt liittää turvallisesti $ p = -2 $ ja tee johtopäätöksesi alkuperäisestä kysymyksestä. Muista tarkistaa ehdot, joissa vastaus on olemassa.Ja älä unohda muuttaa $ X $ -yksiköitä takaisin alkuperäisiin: tämä kertoo vastauksesi $ \ beta ^ p $ (tai $ \ beta ^ {- p} $ , riippuen siitä mitä ajattelet $ \ beta $ on asteikko tai aste ).