Gravitaatiokiihtyvyys Kuulla ja Marsilla

Let ” Näemme, kuinka painovoiman aiheuttama kiihtyvyys saavutetaan mille tahansa planeetalle, ja sitten voimme soveltaa tätä maapalloon tai kuuhun tai mihin tahansa haluamaamme.

Newtonin gravitaatiolaki kertoo meille, että painovoima massojen $ m_1 $ ja $ m_2 $ objektien välillä saadaan \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} missä $ r $ on niiden välinen etäisyys massakeskukset. Oletetaan, että esine 1 on planeetta massa $ m_1 = M $ ja säde $ R $, ja objekti 2 on paljon pienempi massaobjekti $ m_2 = m $, joka sijaitsee korkeudella $ h $ planeetan pinnan yläpuolella se on pieni verrattuna planeetan säteeseen. Kahden objektin välinen painovoiman suuruus on toisaalta \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align}, Newtonin toinen laki kertoo meille, että kohteen 2 kiihtyvyys tyydyttää \ begin {tasaa} F = ma \ end {tasaa} Yhdistämällä nämä tosiasiat, nimittäin asettamalla oikeanpuoleiset sivut tasaisiksi, massa $ m $ putoaa yhtälöistä ja kiihtyvyys massaobjektin painovoiman vuoksi $ m $: sta tulee \ alku {kohdista} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ vasen (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} missä toisessa tasa-arvossa olen suorittanut Taylorin vastauksen laajennuksen pienellä luvulla $ h / R $. Huomaa, että nollaan järjestys, nimittäin hallitseva osuus, kun kohde 2 on lähellä planeetan pintaa, on jokin vakio, joka on riippumaton korkeudesta ja riippuu vain planeetan massasta ja säteestä; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {tasaa} Juuri tätä kutsutaan yleensä kiihtyvyydeksi painovoiman takia planeetan pinta. Jos liität Earthin numerot, saat \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ noin 9,8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {tasaus} ja I ” Jätän teille muiden planeettojen lukumäärän määrittämisen. Tämän painovoimasta johtuvan kiihtyvyyden tärkeä ominaisuus on se, että se skaalautuu lineaarisesti planeetan massan $ M $ kanssa ja skaalautuu kuten säteen säteen negatiivinen toinen voima. planeetta.

Kommentit

• Mielestäni on myös hyödyllistä mainita keskipakovoiman vaikutukset taivaankappaleen kulmanopeuden vuoksi. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Tämän toinen vaikutus on se, että ruumis itse pullistuu päiväntasaajan ympärille, mikä lisää pinnan sädettä päiväntasaajan lähellä (laskeutuu lähellä pylväitä).

Maapallolle $ g $ määritelty gravitaatiokiihtyvakio riippuu maan massasta ja etäisyydestä siitä. on $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Katso Newtons L aw universaalista painovoimasta lisätietoja). Joten $ g $ ei ole vakio edes maan päällä, mutta riippuu korkeudestasi, tosin melko hitaasti. Jos olet kuussa, kuun massa $ (~ 10 ^ {22} kg) $ on pienempi kuin maan $ (~ 10 ^ {24} kg) $ massa ja siten tuntemasi painovoima, $ mg $ olisi paljon pienempi, koska $ g $ olisi pienempi, noin 1,62 dollaria m / s ^ 2 $.

Lisäksi $ g $: n yksiköt ovat $ m / s ^ 2 $ eikä $ N / s ^ 2 $

Helppo tapa ajatella tätä on ajatella, että painovoiman kiihtyvyys, esimerkiksi planeettakappaleen pinnalla, riippuu olennaisesti kahdesta suureesta: ruumiin massasta ja säteestä .

Joten esimerkiksi kuun säde on noin 0,273 kertaa maapallon säde, mutta kuun massa on noin 0,0123 maapallon massa. Joten odotamme kiihtyvyyden Kuun pinnalla olevan

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

ja todellakin, Kuun pintapaino on noin 1,62 dollaria \ frac {m} {s ^ 2} $

Joten, jos tiedät massan ja esimerkiksi Marsin säteen, voit määrittää Marsin pintapainon seuraavasti:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $