Hamilton ' s -periaate

-viikon 1. muistiinpanot John Baezin Lagrangian mekaniikan kurssi antaa jonkinlaisen käsityksen toimintaperiaatteiden motivaatioista.

Ajatuksena on, että vähiten toimintaa voidaan pitää virtuaalisen työn periaatteen jatkeena. Kun esine on tasapainossa, mielivaltaisen pienen siirtymän tekeminen siihen vie nolla työtä, ts. e. minkä tahansa pienen siirtymävektorin pistetulo ja voima on nolla (tässä tapauksessa koska voima itsessään on nolla).

Kun esine kiihtyy, lisätään ”inertiaalivoima”, joka on yhtä suuri kuin $ \, – ma \, $ , silloin pienellä, mielivaltaisella, aikariippuvalla siirtymällä objektien todellisesta liikeradasta olisi jälleen nollapistetulo $ \, F-ma, \, $ todellinen voima ja inertiavoima lisätty. Tämä antaa

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

Lähettäjä muutama muistiinpanoista löytyvä laskelma johtaa paikallaan olevaan toiminnan integraaliin.

Baez keskustelee D ”Alembertista enemmän kuin Hamilton, mutta kumpaakin tapaa se on mielenkiintoinen katsaus idean alkuperään.

Kommentit

• Huomaa, että virtuaalisen työn periaatetta kutsutaan nimellä D ’ Alembertin periaate: fi.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Kuten alla olevasta kuvasta näet, haluat, että toimintointegraalin muunnos on vähimmäismäärä, joten $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ on oltava $ 0 $. Muuten et kulje todellista polkua $ q_ {t_ {1}} $ – $ q_ {t_ {2}} $ välillä, mutta hieman pidempää polkua. Jopa $ \ delta S = 0 $: n seuraaminen, kuten tiedät, saattaa johtaa toiseen ääripäähän.

Jc: n linkkiä seuraamalla löydät Yleisestä dynamiikan menetelmästä , joka todennäköisesti vastaa kysymykseesi, joka koskee Hamiltonin päättelyä. En ole lukenut se, mutta melkein varmasti se kannattaa.

Kommentit

• Tämä tuntuu tautologiselta vastaukselta, koska se on juuri Hamilton ’ periaatetta, jota käytetään pääsemään yllä olevaan kuvaan.
• Ehkä sinulle opetettiin Hamiltonin ’ periaatetta ja päädyit siihen kuva selityksenä, mutta kuva on täysin yleinen. Se kuvaa kiinteän loppupisteen omaavan funktion vaihtelua.

Kerron yleensä tarinan, että toimintaperiaate on toinen tapa päästä samoihin differentiaaliyhtälöihin – siis mekaniikan tasolla nämä kaksi ovat samanarvoisia. Kvanttikenttäteorian osalta polun integraalien kuvaus eksponentoidun toiminnan yli on kuitenkin välttämätöntä, kun otetaan huomioon instanton-vaikutukset. Joten lopulta todetaan, että tekojen muotoilu on perustavanlaatuisempi ja fyysisesti järkevämpi.

Mutta silti ihmisillä ei ole ”tunnetta” toiminnasta samalla tavalla kuin heillä on tunne energiasta.

Muistetaan, että liikkeen yhtälöt, joissa on initial ehdot $ q (0), (dq / dt) (0) $ kehitettiin ensin ja vähiten toimintaperiaate muotoiltiin myöhemmin sarjana. Vaikka matemaattisesti kaunis ja tyylikäs, vähimmäistoimintaperiaate käyttää tulevaisuuden ”rajaehtoa” $ q (t_2) $, jota ei tunneta fyysisesti. Ei ole vähiten toimintaperiaatetta, joka toimii vain alkuperäisten ehtojen kanssa.

Lisäksi oletetaan, että yhtälöillä on fyysisiä ratkaisuja. Tämä on niin klassisessa mekaniikassa, mutta on väärässä klassisessa elektrodynamiikassa. Joten vaikka muodollisesti oikeasta ”periaatteesta” johdetaan, yhtälöt voivat olla vääriä fyysisellä ja matemaattisella tasolla. Tässä kunnioitus, oikeiden fyysisten yhtälöiden muotoilu on fyysikoille perustavanlaatuisempi tehtävä kuin luottaa johonkin ”periaatteeseen” saada yhtälöt ”automaattisesti”. Me fyysikot olemme vastuussa yhtälöiden oikeasta muotoilusta.

CED: ssä, QED: ssä ja QFT: ssä on ”korjattava liikkeellä” vääriä ratkaisuja vain siksi, että fysiikka arvattiin ja alun perin toteutettiin väärin.

PS Haluaisin osoittaa, kuinka todellisuudessa järjestelmä ”valitsee” liikeradan: jos osassa $ t = 0 $ hiukkasella on vauhtia $ p (t) $, niin seuraavalla kerralla $ t + dt $: lla on vauhti $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Tämä lisäys on ajallisesti melko paikallinen, sen määrää nykyinen voima-arvo $ F (t) $, joten mikään tuleva ”raja” -ehto ei voi määrittää sitä. Reittiä ei ”valita” virtuaalisista; se ”vetää” voiman, koordinaatin ja nopeuden hetkellisarvot.

Kommentit

• Haluan ajatella, että molemmat vaihtoehdot ovat vain matemaattisia malleja, joten kukaan ei ole todellisempi. Kumpikaan järjestelmä ei valitse reittiään eikä tulevaisuus määrää vähiten toimintareittiä. QM: n ei-paikallistuminen johtaa samanlaisiin epäilyihin.
• Hämmästyttävää, että nyt on olemassa vähiten toimintaperiaate, joka toimii vain alkuperäisissä olosuhteissa! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Tässä on ilmainen arXiv-versio . Lukematta artikkelia yksityiskohtaisesti, se haisee klassiselta Keldyshin formalismilta , vrt. tämä ja tämä Phys.SE-viesti.

Sen sijaan, että määrittelemme lähtökohdan ja liikemäärän aivan kuten olemme tehneet Newtonin formalismissa, muotoilkaamme kysymyksemme uudelleen seuraavasti:

Jos päätämme määrittää alku- ja loppupaikan: $ \ textbf {mitä polkua hiukkanen kuljettaa?} $

Let” väittävät, että voimme palauttaa Newtonin formalismin seuraavalla formalismilla, niin sanotulla Lagrangin formalismilla tai Hamiltonin periaatteella.

Kullekin yllä olevaan kuvaan kohdistamattomalle polulle osoitetaan numero, jota kutsumme toiminnaksi p>

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ vasen (\ dfrac {1} { 2} m \ piste {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ oikea) $$

missä tämä integrointi on ero välillä kineettinen energia ja potentiaalinen energia.

$ \ textbf {Hamiltonin periaate väittää} $: Hiukkasen todellinen polku on S.

$ \ textbf {Proof:} $

1.Muuta polkua hieman:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2.Pidä polun päätepisteet kiinteinä :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3.Vaihda toiminnon muunnelma $ S $:

lopuksi saat

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Edellytys, että polku, jolla aloitimme, on toiminnan ääripää, on

$$ \ delta S = 0 $$

jonka pitäisi olla voimassa kaikissa muutoksissa $ \ delta \ vec {r} (t) $, jotka teemme polulle. Ainoa tapa näin voi tapahtua on, jos lauseke $ [\ cdots] $: ssa on nolla.Tämä tarkoittaa

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Tunnistamme tämän nyt nimellä $ \ textbf {Newtonin yhtälöt} $. Toiminnan rajoittaminen edellyttää, että polku noudattaa Newtonin yhtälöitä.

Lisätietoja voit lukea tästä pdf-luennosta.

Toivottavasti se auttaa.

Kommentit

• Jos näemme hiukkasen, jota on pakko liikkua pallolla, pääsemme poluille yksi on maksimi tai minimi. Minusta tuntuu, että hiukkanen seuraa vähiten toimintatietä, mutta matemaattinen yhtälö δS = 0 antaa meille epäselvän vastauksen, mutta tietty osa tästä vastauksesta sisältää pienimmän toiminnan polun. Näet Arfkenin ja Weberin.