Tässä on todennäköisyyskysymys (luultavasti todella yksinkertainen), en ole varma, miten ratkaista:
Gamma jakelu $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ kanssa $ \ mu = 20 $ ja $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Edellinen kysymys oli $ \ alpha $ ja $ \ beta $ arvojen löytäminen, minkä tein käyttäen $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ ja $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alfa $$ \ beta ^ 2 $.
Gammajakelun cdf: n kohdalla oppikirjani sanoo $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ where $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ on tavallinen gammajakauma cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Tämän integroimiseksi näyttää siltä, että minun on käytettävä ketjusääntöä, mutta professorimme ei koskaan esimerkki. Onko olemassa pikavalintamenetelmää? Emme ole koskaan käyttäneet integraatiota todellisessa esimerkissä vain määrittelemään pdf: n ja saamaan cdf eri jakeluille.
Muokkaa
Esimerkit omassa oppikirja, johon liittyy tavallisia gammajakautumisongelmia, sanovat etsivän $ F (x; \ alpha) $: n arvot liitteen taulukosta A.4. Kun katsoin, taulukko A.4 puuttui, mikä pettää minua. tavalliset gammajakelupöydät verkossa, jotka voin tulostaa ja luovuttaa tehtävän kanssa? Tarkistin Wolfram Alphan, mutta heillä ei ollut sitä. Casiossa on jotain , mutta en ole varma, mitkä ovat muodon ja mittakaavan parametrit.
Muokkaa 2
Löysin kyseisen pöydän. Kirjan etupuolella taulukko A.5 tuli heti A.3: n jälkeen, minkä vuoksi luulin, että A.4 puuttuu. Kävin kirjastossa tarkistaakseni onko heillä oli sama oppikirja; heillä oli, ja jollakin oli järkeä (jota minulla ei ollut) katsoa kirjan takaosaan, ja siinä se oli. Enemmän apua ei tarvita.
Kommentit
- Sinun on integroitava osittain toistuvasti alkaa $ u = y ^ {\ alpha-1} $ ja $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $ ja $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Joka kerta, kun teet niin, saat integraalin pienemmän eksponentin kanssa hintaan $ y $. Jos $ \ alpha $ on kokonaisluku, voit viimeistellä prosessin. Jos $ \ alpha $ ei ole kokonaisluku, asiat ovat monimutkaisempia.
- @dilip sinun tulee lähettää kommenttisi vastauksena.
- @DilipSarwate, suljettua lomakeratkaisua ei ole $ \ alpha $ ei-kokonaisluku, tämä cdf on silloin epätäydellinen gammafunktio .
- Ja epäilen vahvasti osittaista integraatiota Harjoituksesta.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4]%2C+24]
vastaus
Kuten todennäköisyyslogiikka ehdottaa, kommenttini muunnetaan vastaukseksi.
Sinun on integroitava osittain toistuvasti , jotka alkavat kirjaimella $ u = y ^ {\ alfa -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $ ja käyttäen $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Koska $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, teet aina integraation osittain, saa integraalin pienemmän e: n kanssa xponent hintaan $ y $ oikealla puolella. Jos $ \ alpha $ on kokonaisluku (kuten tässä tapauksessa on), voit viimeistellä prosessin $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $: lla. Jos $ \ alpha $ ei ole kokonaisluku, asiat ovat monimutkaisempia, koska $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $, jossa $ 0 < \ gamma < 1 $. Kuten Xi ”an huomautti, cdf on epätäydellinen gammafunktio, ja sen numeeriset arvot on esitetty taulukoissa.
Jos osien integrointi ei ole ei , tämän harjoituksen tarkoitus on ehdottaa Elvisin kommentissa saatat haluta tarkistaa, haluaisiko professori sinun ajattelevan gammasatunnaismuuttujan arvon saapumisajaksi Poissonin satunnaisprosessissa ja ratkaisemaan ongelman siitä näkökulmasta.
Kommentit
- Onko online-taulukko eri arvoille x ja alfa? Oppikirjassani on taulukoita vain normaaleille normaalikäyrille ja t-jakaumille. Yritin etsiä sellaista, mutta löysin sen sijaan liian monta Chi-neliötaulukkoa.
- En tiedä online-taulukkoa, mutta MATLAB laskee arvot sinulle ja oletan, että R tai Mathematica tai Wolfram Alpha tai Maple tai … jne. tekisivät saman.