Hämmennys perusajan laskennassa?

Trigonometriset funktiot ovat olennaisesti eksponentiaalisia. Täten argumentin kaksinkertaistaminen vastaa funktion neliötä (tietyssä mielessä). Tässä tapauksessa se voidaan nähdä soveltamalla kulman lisäyskaavaa:

$$ \ begin {tasattu} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {tasattu} $$

Tehtävä

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Sen soveltaminen omaan yhtälö:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Tästä on melko selvää, että perusjakso on 0,25, koska se tekee 8 dollaria \ pi t = 2 \ pi $ .

Pyynnöstä:

$$ \ begin {tasattu} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ oikea) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ vasen (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ oikea) \\ & = \ frac {1} {4} \ vasen [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ oikea] \\ \ loppu {tasattu} $$

Sinun pitäisi pystyä selvittämään sieltä. Huomaa, että neliön tapaus olisi voitu käsitellä samalla tavalla.

Käytän tätä tekniikkaa laajasti seuraavissa kaavoissa:

• Tarkka lähellä hetkellisen taajuuden kaavoja parhaiten huippuissa (osa 1)
• Tarkat lähellä hetkellisen taajuuden kaavoja parhaimmillaan (osa 2)
• Tarkka lähellä hetkellisen taajuuden kaavoja parhaiten nollaristeyksissä

Kommentit

• Ole ystävällinen päivitä vastauksesi toinen viimeinen rivi. Perusjakso on 0,25 eikä perustaajuus
• @Man Done, hyvä saalis. Anteeksi.
• Päivitä vastauksesi hieman vastaamaan päivitetyn kysymyksen tarve.
• @Man Lopeta maaliviestien siirtäminen. n = 3,4,5 … voidaan laskea mallin mukaan. lopputulos on $ n4 \ pi T = 2 \ pi $, joka on sama kuin $ T = 1 / (2n) $

Tämä näyttää olevan enemmän semantiikan ongelma.

Signaali on jaksollinen ajan $ T $ kanssa, jos

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Joten signaali on jaksollinen $ 0,5 $ koska for $ T = 0.5 \ cdot n $ kosinin argumentti on $ 2 \ pi $ . Koska se on jaksollista $ 0.5 $ -julkaisussa, se on myös periodinen kaikissa $ 0.5 $ kokonaislukukerroissa, ts. $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ jne.

Tässä tapauksessa se on myös jaksoittaista 0,25 $ $ , koska $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Joten kaikilla jaksollisilla signaaleilla on ääretön lukumäärä jaksoja, perusperuste on pienin ja kaikki muut ovat peruspisteen kokonaislukukertaisia.

Jos se auttaa, luo yksikkö amplitudi-siniaalto taajuudella 1 Hz ja sen neliö:

Silloin aalto ja sen neliö näyttävät tältä:

Näet DC-komponentin: neliönmuotoisen siniaallon keskiarvo (keskiarvo kokonaislukumääräisille jaksoille) on 1/2. Ja punainen siniaaltotaajuus on täsmälleen kaksinkertaistunut, joten jakso puolittuu. DC ja kaksinkertaistettu taajuus ovat ”lyöntitaajuuksia”, jotka saadaan kertomalla siniaalto itse.

kommentit

• mitä ohjelmistoa käytät?
• Käytän kaupallista simulointiohjelmaa nimeltä Extend (vanhempi versio) ja Imagine That, Inc: n ExtendSim (uudemmat versiot). Näitä on täydennetty neljällä lohkokirjastolla, joita aloitin kehittää jo vuonna 1990. LightStone-nimisiä kirjastojani on saatavana ilmaiseksi täydellä kommentoidulla lähdekoodilla. Kirjastojeni URL-osoite on umass.box.com/v/LightStone . Päivitän kirjastoja viikon loppuun mennessä, jotta ne toimivat uusimman ExtendSim 10.0.6 -version kanssa (pitäisi olla vain uudelleenkäännös). Yllä oleva malli tehtiin Extend 6.0.8: lla vanhalla Macilla (pidän ulkonäöstä).
• Kiitos, ' tarkastan sen: )