Heisenbergin kuvassa (käyttäen luonnollisia mittasuhteita): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Jos hamiltonilainen on ajasta riippumaton, voimme ottaa osittaisen johdannaisen molemmilta puolilta ajan suhteen: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ osaa_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Siksi $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$, mutta tämä ei vastaa sitä, mitä monet oppikirjat ovat Heisenbergin liikeyhtälö. Sen sijaan he ilmoittavat, että $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. \ tag {4} $$ miksi tämä on yleensä totta eikä edellinen lausunto? Olenko vain pedanttinen käytettäessä osittaisia ja kokonaisjohdannaisia?
Kommentit
- Miksi käytit osittaista johdannaista? Heisenbergin formalismissa valtion kettit ovat kiinteät ajoissa ja operaattorit vaihtelevat ajassa. Joten voit ottaa operaattorin kokonaisaikajohdannaisen LHS: stä.
- Valitettavasti en voi ' ymmärtää logiikkaasi siellä. Tässä $ O_s $ saa vaihdella ajan mukaan, samoin $ O_H $, mutta on hyvin selvää, että LHS: ssä on yhteensä aika johdannainen / $ O_H $, ja RHS: ssä on osittainen aika johdannainen . Miksi ' eivät ole molemmat osittaisia johdannaisia ajassa?
- @ I.E.P. Eq. (2), Miksi vasemmalla puolella ' ei ole sitä $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, Käytä vasemmalla puolella $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, ja johdannaisten kokonaismäärä voidaan ilmaista osittaisten johdannaisten summana.
- @IEP Luulen tässä puuttuvan kokonaisjohdannaisen ja osittaisen johdannaisen matemaattisen eron. Vasemmalla puolella $ O_H $ funktiona $ t $, joten kokonaisjohdannainen, oikealla puolella $ O_H $ muodostettuna funktiona relaation (1) kautta, joten osittainen derivaatti jokaiselle komponenttifunktiolle.
Vastaus
Joillakin määritelmillä, jotka tekevät aikariippuvuuksista selvät, yhtälösi (4) voidaan ymmärtää. Otetaan seuraavat:
Olkoon $ O_s $ operaattori ajan ja muiden parametrien mukaan $ O_s: \ mathbb {R} \ kertaa S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, missä $ S $ on muiden parametrien väli ja $ \ mathrm {Op} $ on operaattoreiden tila Hilbert-avaruudessa. Olkoon $ \ phi: \ mathbb {R} \ kertaa \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ tarkoittaa operaattoreiden aikakehitystä Heisenberg-kuvassa, jonka antaa $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Huomaa, että $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ ja $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (koska $ \ phi $ on lineaarinen muodossa $ O $). Annetaan nyt parametri $ p \ muodossa S $ voimme määrittää ajan funktion: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ kanssa $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Funktiomme $ O_H $ on yksi parametri yksi, joten on järkevää ottaa vain sen kokonaisjohdannainen: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ osal_O \ phi) _t \ vasen [(\ osaa_tO_s) (t, p) \ oikea] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ vasen [(\ osal_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
missä ensimmäisessä vaiheessa olen soveltanut ketjusääntöä ja muissa, jo olemassa olevat tasa-arvot.
Vastaa
Ei, et ole ”vain” pedanttinen osittaisten johdannaisten väärinkäytön yhteydessä: Eqns (2) ja (3) ovat väärässä. Et yksinkertaisesti soveltanut määritelmiä oikein, kuten @WeinEld on huomauttanut. (Olet saattanut säästää itseäsi surusta, jos kuvitit kysymyksesi yksinkertaiselle järjestelmälle, kuten SHO.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ joten $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ missä $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ ja samoin kuin p .
$ O_H $: n aikajohdannainen koostuu osittaisesta johdannaisesta wrt t puolipisteen jälkeen, plus konektiivinen johdannainen johtuen Heisenbergin kuvassa esiintyvistä x ja p -virtauksista, $$ \ frac {\ osittainen O_H} {\ osittainen x (t)} \ piste {x} + \ frac {\ osittainen O_H} {\ osittainen p (t)} piste {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Todista tämä! Ellet ole, keskustelu on kaikki höyryä.)
Osittainen johdannainen on $$ \ frac {\ osittainen O_H} {\ osittainen t} = e ^ {iHt} \ frac {\ osittainen O_S} {\ osittainen t} e ^ {- iHt} = \ vasen (\ frac {\ osittainen O_S} {\ osittainen t} \ oikea) _H. $$ (Jotkut ilmaisevat tämän nimellä $ \ frac {\ osittainen O_H} {\ osittainen t} $, lukijaan luottaminen ymmärtäisi oikein vain puolipisteen jälkeisen argumentin ilmeisen erottelun, mutta tämäkin kysymys voi saada heidät miettiä kahdesti . Nyt olla varma, koska $ O_S $: lla on katoava konvektiivinen johdannainen, $ dO_S / dt = \ osittainen O_S / \ ositettu t $, kuten kommentissa on esitetty, joten tämä ei ole ongelma.)
Joka tapauksessa näiden kahden kappaleen yhdistäminen verkkoa tavanomaisen $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. $$
Seuraa yksinkertaisen havaittavan, kuten SHO: ssa olevan $ O_S = tx $: n, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, juhlivan jäykän, ilmeistä käyttäytymistä klassinen kaltainen kierto vaihetilassa, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; siis $ O_H = tx (t) $. Siksi $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: arvosta nyt vastaavien kuvien tehokkuutta ja eroja. (Kuten $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (se [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ fyysikkojen kanssa ”matemaatikon tavanomainen välttäminen” mainos -merkinnällä.)
Saatat löytää suuntasi ajattelemalla, että S-kuva on Eulerian-kehys ja H-kuva on Lagrangian-yhdistävä kehys.