Tämä kysymys voi olla hieman laiska, mutta voiko kukaan antaa minulle todistuksen Hillin pallokaavasta? wikipedian mukaan säteen kaava $ r $ on
$$ r \ noin a (1-e) \ vasen (\ frac {m} {3M} \ oikea) ^ {1/3} $$
missä massa-kappale $ m $ kiertää paljon massiivisempaa massa-ainetta M M $ puoli-pääakseli $ a $ ja epäkeskeisyys $ e $.
Kommentit
- Katso johdanto kohdassa tämä artikkeli .
- Aseta testimassa kahden massan väliin, olettaen, että alkuperä on suuremmassa massassa, ja laske missä molempien voimien suuruudet ovat samat?
- @Dave että ’ on aika siisti paperi (aioin saada jotain aikaan tänään, mutta nyt …), ja Olen varma, että se ’ on siellä; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ ja ” pituusyksikköä skaalataan tekijällä µ $ {} ^ { 1/3} $ ” mutta en ’ näe miten saada (1- e ) edessä niin helposti.
- Koska a (1-e) on periastroni?
- Näyttää siltä, että ne ovat ’ todella lisänneet johdannaisen. wikipedia-sivulle – mielenkiintoista on, että wikipedia-sivulla ei mainita sitä, että tämä pinta ei ole pallomainen, se viittaa siihen, kun hiukkaset akselilla katoavat (ainakin yhden tapahtuman aikana – useat ei-resonanssitapahtumat vievät lopulta kaiken materiaalin ulkopuolelle Hillin säde, joka jättää pallon)
vastaus
Kukkulan pallo määritellään hieman eri tavalla kuin Roche-lohko , mutta säde on likimääräinen etäisyydellä Lagrange-pisteisiin L 1 ja L 2 .
Pyöreälle liikkeelle, jonka kulmanopeus on $ \ omega $ alkuperän ympärillä, meillä on:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Painovoimasta johtuva kiihtyvyys toisen massan pistemassasta $ \ mathbf {r} $ annetaan tavallisella käänteisen neliön lailla:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {{mathbf {r}} $$
Harkitse nyt kaksirunkoista järjestelmää, jonka massat ovat $ m_1 $ ja $ m_2 $ , erotettu etäisyydellä $ r $ kiertävät yhteistä massakeskiään (com) etäisyydellä $ r_1 $ ja $ r_2 $ vastaavasti.
-alueen asetukset > 1 < / sub >
Tämä on yksiulotteinen järjestelmä, joten voimme siirtyä vektoreista skalaareihin. Massakeskipisteen määritelmän perusteella meillä on:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
$ m_2 $ kiertoradalla massakeskipisteen ympärillä, jolloin gravitaatiokiihtyvyys ja pyöreän liikkeen edellyttämä kiihtyvyys saadaan: > $$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
Ja ilmaisemalla sitten $ r_2 $ $ r_1 $ : n mukaan antaa Keplerin kolmannen lain:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Seuraavaksi löydämme etäisyys L 1 -kohtaan, jossa primäärisen ja sekundaarisen painovoimat yhdistyvät tarvittavan kiihtyvyyden aikaansaamiseksi pyöreälle liikkeelle.Pyöreän liikkeen kiihtyvyyden tasaaminen painovoimien kanssa antaa:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ vasen (r – h \ oikea) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
Ja korvaa $ \ omega $ johtaa:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ oikea)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ vasen (r – h \ oikea) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Kirjoita sitten tämä uudelleen massasuhteen $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ ja suhteellisen etäisyyden perusteella $ z = \ frac {h} {r} $ , antaa:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ vasen (1 – z \ oikea) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Tästä seuraa kvintinen yhtälö kohteelle $ z $ , joka on ratkaistava numeerisesti, koska yleisillä kvintikoilla ei ole algebrallisia ratkaisuja (en ole teeskentelet ymmärtävänsä tämän todisteita ).
Jos olemme tilanteessa, jossa $ m_1 \ gg m_2 $ , joka on hyvä arvio aurinkokunnan planeetoille, voimme tehdä likiarvoja välttääksemme kvintiksen ratkaisemisen. Tässä tapauksessa Hill-pallo on paljon pienempi kuin kahden objektin välinen etäisyys, mikä tarkoittaa, että voimme arvioida:
$$ \ begin {aligned} 1 + q & \ noin 1 \\ \ vasen (1 – z \ oikea) ^ {- 2} & \ noin 1 + 2z \ loppu {tasattu} $$
missä toinen rivi on binomiarviointi . Tämä antaa:
$$ 1 – z \ noin 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Järjestä uudelleen ratkaistavaksi kohteelle $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
Ja sitten käyttämällä $ z $ ja määritelmiä $ q $ tästä tulee
$$ h \ noin r \ vasen (\ frac {m_2} {3 m_1} \ oikea) ^ {1 / 3} $$
Mikä on tavallinen kaava Hill-pallon koolle.
L 2 , Lagrange-piste sijaitsee toissijaisen ulkopuolella, joten painovoiman ja pyöreän liikkeen yhtälöstä tulee:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h ”\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h” \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h ”^ 2} $$
Missä $ h ”$ on etäisyys toissijaisesta pisteeseen L 2 .
Korvaa $ \ o mega $ ja uudelleenkirjoittaminen $ q $ ja $ z ”= \ frac {h”} { r} $ antaa:
$$ 1 + z ”\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z” \ right ) ^ {- 2} + qz ”^ {- 2} $$
Tämä antaa jälleen kvinttisen yhtälön kohteelle $ z” $ , mutta voimme tehdä samanlaiset likiarvot kuin L 1 -tapauksessa:
$$ \ begin {tasattu} 1 + q & \ noin 1 \\ \ vasen (1 + z ”\ oikea) ^ {- 2} & \ noin 1 – 2z ”\ end {aligned} $$
Tämä antaa:
$$ 1 + z” \ noin 1 – 2z ” + qz ”^ {- 2} $$
Muuttujien yksinkertaistaminen ja korvaaminen takaisin:
$$ h” \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Tämä toimii pyöreillä kiertoradoilla. Epäkeskeisillä kiertoradoilla tavanomainen tapa on korvata etäisyys $ r $ yksinkertaisella etäisyydellä $ a \ left (1 – e \ right) $ , jossa $ a $ on puolijalkainen akseli. Tarkempi lähestymistapa olisi käyttää kulmanopeutta perikeskuksessa ja johtaa siitä, mutta jätän sen harjoitukseksi kiinnostuneelle lukijalle 🙂
Kommentit
-
+1Älä ’ älä unohda quod erat -demandumia !
Vastaus
Kukkulapallo on nimetty John William Hillin (1812–1879) ja sen yksinkertainen logiikka seuraa kolmen ruumiin läsnäolosta (oletetaan, että aurinko on suurin massa, jonka toissijainen massa on Maan ja kolmannen massaa kiertävän maapallon ympäri kiertävän merkityksettömän massan satelliitti), missä kukkulan pallon säde tulee olemaan suurin säde, jolla satelliitti voisi kiertää toissijaista massaa (tässä tapauksessa Maa). Jos sen kiertorata ylittää Hillsin säteen, se putoaa ensimmäisen ruumiin (auringon) painovoiman vaikutuksesta eikä siten enää ole toissijaisen ruumiin satelliitti.
Newtonin yhtälöitä voidaan kirjoittaa käyttämällä ajatusta siitä, että satelliitilla on sama kulmanopeus kuin toissijaisella esineellä.Tämä on, että maapallon kulmanopeus auringon ympäri on yhtä suuri kuin satelliitin kulmanopeus auringon ympäri. Esittely johdannasta on sekä seuraavassa linkissä että Roche-raja-osassa: