Minulla on vaikeuksia Ho-Lee-mallin kanssa lyhyille korkoille ja erottele, kuinka löytää vapaan parametrin λ arvot verrattuna malli ennustaa tulevia hintoja.
Ho-Lee-malli binomipuun jokaiselle vaiheelle: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Olen lukenut sen Jos haluat asettaa ilmaisen parametrin rekombinoitavan binomipuun jokaisessa vaiheessa, asetat nopeuden tilassa 0 nykyiseen spot-kurssiin (ts. 1 kuukauden spot-korko) ja löydät lambdalle arvon, joka kytkettynä malliin johtaa tämänhetkinen spot-kurssi seuraavalle vaiheelle (esim. alkaen yhden kuukauden spot-kurssista tilassa 0 ja käyttämällä yhden kuukauden aika-vaihetta, oikea lambda-arvo kytkettynä malliin tuottaa nykyisen 2 kuukauden spot-koron jne.). / p>
Tämä hämmentää minua. Kun olen määrittänyt lambda-arvon puun jokaiselle vaiheelle, mitä syötteitä vaihdan käyttääksesi mallia lokerossani omial-puu futuurien ennustamiseksi .. ts. yhden kuukauden kurssi yhdessä kuukaudessa, kahdessa kuukaudessa jne.?
Jos kuvausni ei ole selvä, tässä on poikkeus Bruce Tuckmanin kirjasta aihe.
… etsi λ1 siten, että malli tuottaa kahden kuukauden spot-koron, joka on yhtä suuri kuin markkinoilla. Etsi sitten λ2 siten, että malli tuottaa kolmen kuukauden spot-koron, joka on yhtä suuri kuin markkinoilla. Jatka tällä tavalla, kunnes puu päättyy.
Vastaa
Tiedät että Ho-Lee-mallia edustavat stokastiset differentiaaliyhtälöt \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} binomipuun toteuttamiseksi käytämme Euler-diskretisointia. \ begin {tasaus} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {tasaus} missä $ Z $ on normaali normaali satunnaismuuttuja. Anna $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ ja laajenna yhtälöä, erillisessä ajassa \ aloita {tasaus} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Tämä suhde osoittaa, että lyhyt korko on joukko ei-stokastisia drift-termejä ja joukko satunnaisia termejä Ei-välimiesmenettelyn nollakuponkilainan hinta $ P (t, t + \ Delta t) $ ilmoitetaan näin:
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Esimerkiksi lasketaan joukkovelkakirjan hinta ajankohtana $ n = 2 $, antaa meille: \ begin {tasaus} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {tasaus} toisin sanoen \ begin {tasaus} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, viimeinen \ vasen (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ oikea) \ end {tasaus} Tässä tapauksessa $ r_t $: lla on normaali jakauma, joten \ begin {tasaus} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {tasaus} Mutta \ alku {tasaus} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Se voidaan kirjoittaa uudestaan seuraavasti: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} ja sitten \ aloita {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {tasaa} Tämä suhde antaa tarvittavat rekursiiviset suhteet kehittääksesi Ho-Lee: n ei-välimiesmallin lyhyistä koroista. Otamme joukon joukkovelkakirjojen hintoja ja volatiliteettien rakennetta lyhyiden korkojen lähtökohtana. Siksi saamme evoluutioyhtälön kuvaamaan mallin binomispuuta.
Kommentit
- Kiitos vastauksestasi, vaikka se ' ylittää ymmärrykseni tason. Yksinkertaisesti sanottuna ymmärrän, että mallin tarkoitus on mallintaa tulevia korkoja. Olen ' olen lukenut, että asetimme vapaat parametrit puun jokaisessa vaiheessa siten, että malli siroaa nykyiset spot-kurssit. Jos tiedämme, että malli on kalibroitu, mitä syötteitä muuttaisin, jotta voin käyttää sitä tulevaisuuden hintojen mallintamiseen?