Tietääkö kukaan, mikä olisi $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, missä $ t ^ a $ jne. ovatko Gell-Mann-matriiseja? Tämä tapahtui, kun analysoitiin QCD: n compton-vaikutuksen värikerrointa. Joten sen on oltava melko yleinen, mutta en löytänyt asianmukaista viittausta. Onko yleensä viitteitä mielivaltaisen määrän Gell Mann -matriisien jäljittämiseen?
Vastaus
Otan SU (N) generaattorit perusedustuksessa normalisoitui siten, että $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Kahden generaattorin kommutaattori määrittelee rakennevakiot $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Kahden generaattorin antimommutator on
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
missä $ 1 $ tarkoitan identiteettimatriisia ja $ d ^ {abc} $ ovat ”d-symboli”, joka määritellään nimellä
$$ d ^ {abc} = 2 \ teksti {Tr} \ vasen [\ vasen \ {T ^ a, T ^ b \ oikea \} T ^ c \ oikea] $$
Sitten on hyödyllinen identiteetti
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Ehdotan sinulle tämän viitteen http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf , jossa kerätään erilaisia jäljitystunnuksia. Tarkastele tapaustasi yhtälöä 75 liitteessä B, sivu 9.
Tarkista generaattorien normalisointi ennen tämän identiteetin käyttöä.
Kommentit
- Yleensä linkkejä ei suositella aktiivisesti vain vastauksiin, koska jos linkki menee kuolleeksi, vastaus on hyödytön. Käytä Mathjaxia muokataksesi sopivia yhtälöitä, jotta vastaus pysyy yksin.
- @Angela, jos tämä vastaa kysymykseesi, sinun on merkittävä se vastaukseksi.