Haluan käydä läpi impulssijunan taajuusesityksen johdannan.
Määritelmä impulssijunatoiminnon jaksolla $ T $ ja taajuusesityksen näytetaajuudella $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $, jotka haluaisin johtaa, on:
\ begin {align *} s ( t) & = \ summa \ rajoitukset_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { tasaa *}
Pulssitoiminnon eksponentiaalisen Fourier-sarjan esityksen käyttäminen ja Fourier-muunnoksen soveltaminen sieltä johtaa:
\ begin {tasaus *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ summa \ limit_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ summa \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {tasaa *}
Sieltä päästäksesi lopputulokseen näyttää siltä, että integraatio täytyy olla yli $ 2 \ pi $. Missä $ \ Omega = -k \ Omega_s $, eksponentti olisi $ e ^ 0 $ ja integroituu arvoon $ 2 \ pi $ ja muille $ \ Omega $ -arvoille olisi täydellinen siniaalto, joka integroituu nollaan. Integraation rajat ovat kuitenkin negatiivinen ääretön positiiviseen. Voisiko joku selittää tämän? Kiitos!
Vastaus
Olet oikein tajunnut, että esiintyvät integraalit eivät lähesty tavanomaisessa mielessä. Helpoin (ja ehdottomasti tiukka) tapa nähdä tulos on huomioida Fourier-muunnossuhde.
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Siirtämällä / meillä on modulaatioominaisuus
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Joten jokainen termi $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ Fourier-sarjassa muunnetaan arvoksi $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, ja tulos seuraa.
Kommentit
- Tämä on täydellinen ja paljon helpompaa kuin tein sen. kiitos paljon !!!
- Myös toinen vastaus oli oikea. Vaihdoin hyväksytyn.
Vastaus
@MattL ehdotti mukavaa ja yksinkertaista tapaa nähdä yllä oleva tulos.
Mutta jos haluat nähdä tuloksen mainitsemissasi normaaleissa analyysiyhtälöissä, voit tehdä kuten alla / p>
Sano, että S (t) on jaksollinen impulssijono, joten S (t) voidaan kirjoittaa seuraavasti:
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Jos otat Fourier-sarjan S (t), voit kirjoittaa S (t) nimellä
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Missä $ C_n $ ovat eksponentiaalisia Fourier-sarjan kertoimia ja $ w_o $ on perustaajuus.
Joten eksponentiaalisista Fourier-sarjoista tiedämme, että
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Korvaa nyt yllä olevassa lausekkeessa S (t): n arvo ensimmäisestä lausekkeesta.
Joten $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Nyt sinun on tehtävä havainto, jos tarkkailet integraalia, se on välillä -T / 2 – + T / 2. Tänä integraalijaksona on huomioitava, että vain yksi impulssi $ \ delta (t) $ on olemassa. Kaikki muut summauksen impulssitoiminnot tapahtuvat T / 2: n tai ennen -T / 2: n jälkeen. Joten yhteensä yllä oleva yhtälö $ C_n $ voidaan kirjoittaa seuraavasti:
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
Ominaisuuden siivilöinnistä voimme kirjoittaa yllä olevan sanan
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Laita nyt arvo $ C_n $ ensimmäiseen S (t) -yhtälöön
$$ S (t) = (1 / T) \ summa_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Etsi nyt yllä olevan yhtälön Fourier-muunnos
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Fourier-muunnos on siis $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Tämän pitäisi auttaa.