tässä vastauksessa Jim Clay kirjoittaa:
… käytä sitä, että $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Yllä oleva lauseke ei ole liian erilainen kuin $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Olen yrittänyt saadaksesi myöhemmän lausekkeen käyttämällä Fourier-muunnoksen vakiomääritelmää $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $, mutta kaikki Loppujen lopuksi lauseke on niin erilainen kuin mitä ilmeisesti vastaus on.
Tässä työni:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ vasen \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ vasen (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ oikea) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ vasen (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ oikea) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ oikea)} + e ^ {- j2 \ pi t \ vasen (f-f_0 \ oikea)} \ oikea) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ vasen (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ oikea) \ oikea) dt \ loppu {tasaus}
Tässä olen juuttunut.
vastaus
Työsi on kunnossa lukuun ottamatta ongelmaa, että $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $: n Fourier-muunnosta ei ole tavanomainen tunne $ f $: n funktiosta , ja meidän on laajennettava käsite sisällyttämään ns. jakeluihin, impulsseihin tai Dirac-deltoihin tai (kuten insinöörit tapamme tehdä, paljon matemaatikkojen inhottavuus) delta -toiminnot. Lue edellytykset, joiden on täytyttävä Fourier-muunnos $ X (f) $ olemassa olevasta signaalista $ x (t) $ (tavallisessa mielessä) ja huomaat, että $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $: lla ei ole Fourier-muunnosta tavallinen järki.
Siirtymällä omaan kysymykseesi, kun ymmärrät, että impulssit määritellään vain sen mukaan, miten ne käyttäytyvät integraaleina integraalina, eli $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ edellyttäen, että $ g (x) $ on jatkuva arvolla $ x_0 $, silloin on helpompaa päätellä Fourier-muunnos luvusta $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ vasen. \ frac {1} {2} \ oikea [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ oikea] $$ miettimällä, että $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$, joten sen on oltava $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ on $ \ displaystyle \ vasen. \ vasen. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Vastaa
Sitten käytä vain taulukkoa Fourier-muunnospareista nähdäksesi, että $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ ja muuttujan korvaaminen ($ f_1 = f + f_0 $ ja $ f_2 = f-f_0 $), saadaksesi tarvitsemasi.
Kommentit
- Mikä tietysti herättää kysymyksen siitä, miten henkilö, joka kirjoitti taulukon kirjoitti vastauksen, joka on taulukossa.
- @DilipSarwate 🙂 Nyt ' kysyt paljon, paljon vaikeampaa kysymystä. 🙂
- Katso vastauksestani versio vastauksesta paljon vaikeampaan kysymykseen, joka saattaa kerätä kokouksen tässä pinonvaihdossa, ellei matematiikassa.SE!
- @DilipSarwate: sinä ' olen saanut +1 +1ni jo. Kiitos, mukava vastaus. Hyväksyi matematiikan. SE-kaverit kauhistuttavat. Joten OK, me ' olemme insinöörejä. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…