Kuinka äänen nopeus voi kasvaa lämpötilan noustessa?

Äänen nopeuden antaa:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

missä $ P $ on paine ja $ \ rho $ on kaasun tiheys. $ \ gamma $ on vakio, jota kutsutaan adiabaattiseksi indeksiksi . Tämän yhtälön suunnitteli ensin Newton ja muutti sitten Laplace ottamalla käyttöön $ \ gamma $ .

Yhtälön tulisi olla intuitiivinen. Tiheys on mitta siitä, kuinka raskas kaasu on, ja raskaat asiat värähtelevät hitaammin. Paine mittaa sen, kuinka jäykkä kaasu on, ja jäykät asiat värähtelevät nopeammin.

Tarkastellaan nyt lämpötilan vaikutusta. Kun lämmität kaasua, sinun on päätettävä, onko pitää äänenvoimakkuus vakiona ja antaa paineen nousta, tai pitää paine vakiona ja antaa äänenvoimakkuuden nousta, tai jotain siltä väliltä. Tarkastellaan mahdollisuuksia.

Oletetaan, että pidämme äänenvoimakkuuden vakiona, missä tapauksessa paine nousee, kun kuumennamme kaasua. Tämä tarkoittaa, että yhtälössä (1) $ P $ kasvaa, kun taas $ \ rho $ pysyy vakiona, joten nopeus äänestä nousee. Äänen nopeus kasvaa, koska teemme kaasusta tehokkaampaa.

Oletetaan, että pidämme paineen vakiona ja annamme kaasun paisua kuumennettaessa. Tämä tarkoittaa, että yhtälössä (1) $ \ rho $ pienenee, kun taas $ P $ pysyy vakiona ja taas nopeus äänenvoimakkuus kasvaa. Äänen nopeus kasvaa, koska teemme kaasusta kevyempää, jotta se värähtelee nopeammin.

Ja jos otamme keskiradan ja annamme paineen ja äänenvoimakkuuden kasvaa, $ P $ kasvaa ja $ \ rho $ laskee ja äänen nopeus taas nousee.

Joten mitä teemme , lämpötilan nostaminen lisää äänen nopeutta, mutta se tekee sen eri tavoin riippuen siitä, kuinka annamme kaasun laajentua kuumennettaessa.

Aivan kuten alaviitteessä, ihanteellinen kaasu noudattaa yhtälöä tila:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

missä $ n $ on kaasumoolien määrä. (Molaarinen) tiheys $ \ rho $ on vain moolien määrä tilavuusyksikköä kohti, $ \ rho = n / V $ , mikä tarkoittaa $ n = \ rho V $ . Jos korvataan $ n $ yhtälössä (2), saadaan:

$$ PV = \ rho VRT $$

joka järjestyy uudelleen:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Korvaa tämä yhtälöön (1) ja saamme:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

joten:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

mihin tulimme. Yhtälö kuitenkin tässä muodossa kätkee, mitä todella tapahtuu, joten sekaannus.

Kokeellisesti yllä olevan yhtälön suhteellisuusvakio on noin . 20.

Kommentit

• Halusin vain ilmoittaa sinulle, että vastauksesi auttaa ihmisiä edelleen 6 vuotta myöhemmin … I ’ olet käyttänyt noin tunnin yrittäen löytää intuitiivinen selitys tälle kaavalle, ja sinä ’ olet tiivistänyt kaiken muutama lause 🙂

Hyvä kysymys. Lyhyt vastaus on, että intuitioosi (tiheistä tavaroista, joilla on nopeampi äänen nopeus) vaikuttavat todennäköisesti erilaiset materiaalit samassa lämpötilassa ja kiinteät aineet pilaavat sen, kun kysymys on oikeastaan erilaisista kaasuista.

Tarkastellaan joitain tietoja:

Ilma on harvinaista ja matalalla äänenopeudella 760 mph. Raskaammat asiat, kuten kupari, ovat tiheitä ja nopeammat äänenopeudella.Teräksen äänenopeus on 10000 mph !

Joten intuitiosi ei ole liian huono, eikö?

Entä kylmä ilma vs. kuuma ilma? Kylmä ilma on tiheämpää, mutta sillä on pienempi äänen nopeus! Tässä voimme nähdä ihastuttavan paradoksisi.

On käynyt ilmi, että ulkoisten puristusaaltojen (mitä kutsutit mekaanisiksi aalloiksi) aiheuttama hylkiminen kiinteässä metallin kaltaisessa kiinteässä aineessa syntyy erilaisista mekanismeista kuin kokoonpuristuvasta kaasusta. Kiinteän aineen paineaalto puristaa suhteellisen paikallaan olevat ionit hilassa. Säleikkö on erittäin vahva, ja atomit eivät liiku, mutta ne voivat värähtelemään. Jos puristat terästä, puristat tätä hilaa hieman, mutta tässä hilassa olevien sähkökenttien toiminnallinen riippuvuus on melko monimutkainen. tähän kysymykseen on toivottavasti ilmeinen tulos, että riippuvuus lämpötilasta ei tule olemaan liian voimakas, koska voima (etäisyys) -toiminto määrää kuinka nopeasti häiriö kulkee hilan läpi ja energian, jonka annat voitetun hilan atomille ”t muuta tässä mielessä paljon hilan, etäisyyden ja voiman käyrän suhdetta.

Kaasu on paljon erilainen peto siinä mielessä, että ympärillä lentää vain joukko itsenäisiä hiukkasia. Täällä äänen nopeus on pohjimmiltaan painotettu keskiarvo nopeimmista kaasumolekyyleistä, jotka tietysti liikkuvat energian / lämpötilan neliöjuuren kanssa.

Kiinteään aineeseen verrattuna kysymys siitä, mikä on äänen nopeus kaasussa on täysin triviaali. Lue th on tai tämä tai saadaksesi käsityksen siitä, kuinka paljon monimutkaisemmat kiinteät aineet ovat. Jos annan fyysikoille vain kiinteän aineen, kuten kuparin, ja myös kaasun, kuten O $ _ \ rm 2 $, atomiominaisuudet (ei esimerkiksi massamoduulin), he pystyisivät vain laskemaan, ainakin yksinkertaisella laskimella, äänen nopeus O $ _ \ rm 2 $: ssa.

Nopea tapa korjata intuitiosi on huomata äänen nopeus kiinteässä absoluuttisella nollalla verrattuna kaasuun. Vain jälkimmäinen on nolla. Todellakin, miksi kaasuja ei voi olla lähellä absoluuttista nollaa. Riittävän kylmässä kaasussa olevilla molekyyleillä ei edes ole tarpeeksi energiaa päästä eroon toisistaan, joten niiden on oltava nestemäisiä tai kiinteitä aineita.

Toivottavasti huomaat nyt, että menneisyyden kokemuksesi soveltuvat vain eri materiaaleille, ei yksittäisille materiaaleille lämpötilan funktiona.

Ääniaallot leviävät väliaineen läpi seurauksena molekyylien väliset törmäykset. Korkeammissa lämpötiloissa molekyyleillä on suurempi kineettinen energia, ja kun ne liikkuvat nopeammin, törmäykset tapahtuvat suuremmalla taajuudella ja ne kuljettavat ääniaaltoja nopeammin. Suurempi kineettinen energia = vähemmän hitautta = suurempi nopeus.

Koska ääniaallot ovat puristusaaltoja, jotka kulkevat puristettavan väliaineen läpi, niiden nopeus riippuu paitsi väliaineen hitaudesta myös sen elastisuudesta.

Yleensä mitä lähempänä toisiaan molekyylit ovat, sitä nopeammin ne Vaikka molekyylien välisellä etäisyydellä on taipumus kasvaa, kun väliaine on lämmitetty, tämä on suhteellisen vähemmän tärkeä äänen nopeudelle tietyssä väliaineessa kuin molekyylien nopeampi liike.

Korkeampi lämpötila merkitsee suurempaa nopeutta molekyylille, joten se törmää seuraavaan molekyyliin nopeammin, vaikka ne olisivatkin kaukana kummastakin. toisaalta alempi lämpötila. tarkoittaa pienempää nopeutta, joten se voi törmätä myös lähinaapuriinsa pidempään. merci!

Tiedämme, että temprature ja kineettinen energia ovat suoraan verrannollisia. Kun lämpötilaa lisätään, ilmamolekyylien kineettinen energia kasvaa ja molekyylit liikkuvat nopeammin. Minkä vuoksi äänen eteneminen tapahtuu nopeasti, lisäämällä nopeutta.