Yritän ymmärtää, miten sitä käytetään, mitä se vaatii, laskea homogeeninen muunnosmatriisi.
Tiedän 2 pistettä kahdesta eri kehyksestä ja 2 alkuperää vastaavista kehyksistä.
Kuinka muunnosmatriisi näyttää, mutta minua hämmentää se, kuinka minun pitäisi laskea matriisin tarvitsema (3×1) sijaintivektori. Kuten ymmärrän, tämä vektori on vanhan kehyksen alkuperä uuteen kehykseen verrattuna. Mutta kuinka se lasketaan, ilmeinen vastaus (mielestäni) olisi vähentää molemmat ($ O_ {new} – O_ {old} $), mutta se ei tunnu oikealta.
Tiedän sen yksinkertaisen kysymyksen, mutta pääni ei pääse kiertämään tätä ongelmaa, ja miten voin todistaa sen oikealla tavalla tiedoilla?
Vastaa
Homogeenista muunnosmatriisia $ H $ käytetään usein matriisina muunnosten suorittamiseksi kehyksestä toiseen, ilmaistuna edellisessä kehyksessä . Translaatiovektori sisältää siis [x, y (, z)] jälkimmäisen kehyksen koordinaatit, jotka ilmaistaan edellisessä. Ehkä tämä jo vastaa kysymykseesi, mutta alla on yksityiskohtaisempi selitys.
Muunnosmatriisi sisältää tietoja sekä rotaatiosta että käännöksestä ja kuuluu erityiseen eukledialaisten ryhmään $ SE (n) $ dollareissa $ -D. Se koostuu kiertomatriisista $ R $ ja käännösvektorista $ r $. Jos emme salli leikkausta, kiertomatriisi sisältää vain tietoa pyörimisestä ja kuuluu ortonormaaliryhmään $ SO (n) $. Meillä on:
$$ H = \ begin {bmatrix} R & r \\ \ bar {0} & 1 \ end {bmatrix} $$
Määritetään $ s ^ H_a_b $ muunnosmatriisi, joka ilmaisee koordinaattikehyksen $ \ Phi_b $ muodossa $ \ Phi_a $, ilmaistuna muodossa $ \ Phi_a $. $ \ Phi_a $ voi olla alkuperäsi, mutta se voi olla myös toinen kehys.
Muunnosmatriisin avulla voit ilmaista pisteen $ p = [p_x \ p_y] ^ \ top $ (vektorit) toisessa kehyksessä: $$ P_a = H ^ a_b \, P_b $$ $$ P_b = H ^ b_c \, P_c $$ merkinnällä $$ P = \ begin {bmatrix} p \\ 1 \ end {bmatrix} $$ The Parasta on, että voit pinota ne seuraavasti: $$ P_a = H ^ a_b H ^ b_c \, P_c = H ^ a_c \, P_c $$ Tässä pieni 2 D-esimerkki. Tarkastellaan kehystä $ \ Phi_b $ käännetty $ [ 3 \ 2] ^ \ top $ ja kiertänyt $ 90 ^ \ circ $ astetta suhteessa $ \ Phi_a $. $$ H ^ a_b = \ begin {bmatrix} \ cos (90 ^ \ circ) & – \ sin (90 ^ \ circ) & 3 \\ sin (90 ^ \ circ) & \ cos (90 ^ \ circ) & 2 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $$ Piste $ p_b = [3 \ 4] ^ \ top $ kehyksessä $ \ Phi_b $ ilmaistuna on $$ \ begin {bmatrix} p_ {a, x} \\ p_ {a, y} \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \ end {bmatrix} \ to p_a = \ begin {bmatrix} -1 \\ 5 \ end {bmatrix} $$ Yritä tehdä piirustus ymmärryksesi parantamiseksi.