Oletetaan, että meillä on Hamiltonin kielellä $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ tikari} + A)) $$ Tiedämme myös $ AA ^ {\ tikari} = A ^ {\ tikari} A-1 $ ja $ A ^ 2 = 0 $, jolloin $ W = A ^ {\ dagger} A $
Kuinka voimme ilmaista $ H $ muodossa $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Toistaiseksi olen osoittanut, että jos otamme huomioon ominaisarvot $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Se tarkoittaa, että $ A | \ psi \ rangle $ ja $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ ovat myös $ W $: n ominaisvektoreita, joiden ominaisarvo on $ 1-w $. Käyttämällä $ A ^ 2 = 0 $ havaitsemme, että $ w = 0 $ tai $ 1 $
En ole täysin varma siitä, miten ilmaisette operaattoreita matriiseina, koska suurin osa kurssillani on käytetty aaltofunktiomerkintää, kiitän todella, jos joku voisi selittää seuraavat vaiheet täällä, jotta voin ymmärtää sen tarkemmin.
Kommentit
- Voitko ratkaista A: lle kirjoittamistasi kahdesta yhtälöstä? oletetaan, että A: n matriisiarvoina ovat yleiset kompleksiluvut a, b, c, d. Epäilen, että tämä voisi toimia.
Vastaa
Kuten @MichaelBrown on huomauttanut vastauksessa, matriisielementin saamiseksi sinun on vain asetettava operaattori kahden tilan väliin. Joten Hamiltonin $ H $: n tapauksessa matriisielementit annetaan muodossa $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Haluan huomauttaa, että $ i Käyttämäsi $ ”s: n tulisi olla perussarja, johon olet sisään. Jos sinulla on tila $ \ psi $, niin jos vain $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ kuin voit ilmaista operaattorisi matriisielementit tällä tavalla. Jos laitat operaattorin osavaltioon itse, päädyt valtion odotukseen. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Kommentit
- Kiitos vastauksestasi, mutta kuten sanoin MichaelBrownille, kuinka voin soveltaa tätä tähän tilanteeseen? Missä tiedän vain kaksi ominaisvektoria ja heidän vastaavat ominaisarvot.
Vastaus
Operaattorin matriisielementti $ O_ {ij} $ on määritelty $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$, ja on perinteistä, että $ i $ -indeksi merkitsee rivin ja $ j $ -sarakkeen. Tällä tavalla matriisikertaus toimii samalla tavalla kuin sinä odottaa: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$, jonka voit näyttää lisäämällä täydellisen tilaryhmän.
Kommentit
- Kiitos vastauksestasi, mutta miten voin soveltaa tätä tähän tilanteeseen? Jos tiedän vain kaksi ominaisvektoria ja niitä vastaavat ominaisarvot.