Kuinka kelluvuus toimii?

Perusidea

Kuva mielessäsi syvä vesimeri. Kuvittele vesipylväs, joka menee pinnasta alas syvyyteen $ d $. Tällä vesipatsaalla on jonkin verran painoa W W $. Siksi tuossa vesipatsaassa on alaspäin suuntautuva voimakkuus $ W $. Tiedät kuitenkin vesipatsaan kiihtyvän, joten pylvääseen tulee työntää ylöspäin suuntautuva suuruusvoima $ W $. Ainoa asia pylvään alla on enemmän vettä. Siksi veden syvyydessä $ d $ on työnnettävä ylöspäin voimalla $ W $. Tämä on kelluvuuden ydin. Anna nyt tehdä yksityiskohtia.

Tiedot

Poikkipinta-alan $ A $ ja korkeuden $ d $ vesipatsaan paino $ W $ on

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

jossa $ \ rho _ {\ text {water}} $ on veden tiheys. Tämä tarkoittaa että veden paine syvyydessä $ d $ on

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {vesi}}. $$

Oletetaan, että laitat veteen objektin, jonka poikkipinta-ala on $ A $ ja korkeus $ h $. Objektilla on kolme voimaa:

1. $ W $: Kohde ”s oma paino.
2. $ F _ {\ text {above}} $: Veden voima kohteen yläpuolella.
3. $ F _ {\ text {below}} $: Voima kohteen alapuolella olevasta vedestä.

Oletetaan, että kohteen pohja on $ d $: n syvyydessä. Sitten objektin yläosa on syvyydessä $ d-h $. Aiempien tulostemme perusteella meillä on

$$ F _ {\ text {below}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {above}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {vesi}} $$

Jos kohde on tasapainossa, se on ei kiihdy, joten kaikkien voimien on oltava tasapainossa:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {above}} & = & F _ {\ text {below}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {vesi}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {vesi}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {vesi}} \ end { eqnarray} $

missä viimeisellä rivillä määritimme objektin tilavuudeksi $ V \ equiv h A $. Tämä tarkoittaa, että tasapainon ehto on, että objektin painon on oltava yhtä suuri kuin sen tilavuus kertaa veden tiheys. Toisin sanoen, kohteen täytyy syrjäyttää vesimäärä, jolla on sama paino kuin esineellä. tavallinen kelluvuuslaki.

Tästä kuvauksesta uskon, että voit laajentaa koskemaan ilmaa veden sijasta ja vaakasuoraa pystysuoran paineen kaltevuuden sijaan.

Luulen, että kevyempään pintaan vaikuttavalla paineella on jotain tekemistä sen kanssa, mutta se koskee se.

Tämä on itse asiassa koko tarinan alku ja loppu. Tämä on teoriassa kaikki mitä sinun tarvitsee tietää kelluvuudesta. Katsotaanpa, miten tämä lausunto toimii, ja kuinka se johtaa muihin tietoihin, jotka olet kerännyt kelluvuudesta.

Kuvittelet yksinkertaisesti vapaan kehon kaavion kelluvalle / upotetulle ruumiille. Ainoat voimat siinä ovat paineet, kaikkialla kehon pintaan nähden normaalit, ja kehon paino.

Ympäröivän nesteen kehoon kohdistama nettovoima on silloin:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

jossa summataan painejoukot $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $, jotka vaikuttavat alueen elementteihin $ \ mathrm {d} S $ yksikön suuntaan normaali $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ funktiona asemasta $ \ mathbf {r} $ rajapinnan pinnan $ yli. S $ nesteen ja kehon välillä. Siinä kaikki. Pelkästään kohdasta (1) on tietysti vaikea nähdä, mitä tapahtuu nesteeseen upotetulle ruumiille, joten siirtykäämme käytännön vastauksiin.

Teemme pienen tempun: se osoittautuu että voit aina olettaa kelluvuusongelmien suhteen, että pinta $ S $ (1) on suljettu raja äänenvoimakkuudelle (joka on silloinkin, kun käsittelet ongelmia, kuten veneitä, jotka ihannetapauksessa ovat eivät ole kokonaan veden alla ja suljettua rajaa ei ensi silmäyksellä näytä olevan sovellettavissa). Muodostetaan ensin $ \ mathbf {F} $: n sisäinen tulo mielivaltaisella yksikkövektorilla $ \ mathbf {\ hat {u}} $ ja sitten, kun otetaan huomioon suljettu pinta, voimme käyttää divergenssilause – (1) äänenvoimakkuudelle $ V $ suljetun pinnan sisällä $ S = \ osittainen \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ vo _ {\ osittainen V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

joka yksikkövektorin $ \ mathbf {\ hat {u}} $ perusteella on mielivaltainen, tarkoittaa:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

ja meidän on kuviteltava painekenttä $ p (\ mathbf {r}) $, jota olisi läsnä pinnan sisällä olevassa nesteessä, jos neste ei siirtyisi ruumiin ottaessa tilavuuden $ V $. Kohdasta (2) voimme heti nähdä toinen kn velkaa, josta olet kuullut:

ilmapallot saavat ”tunteensa alas” paine-erosta . [rohkea kaivos]

eli kehossa ei ole ei nettoa kelluvaa voimaa, ellei paine $ p $ vaihtele paikasta paikkaan. Muuten $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ on identtisesti tyhjä.

Jos et ole täysin tyytyväinen divergenssilauseeseen, ajattele ja analysoi upotettu kuutio. Nesteessä, jossa paine ei vaihdella asennon mukaan, kummankin pinnan voima tasapainotetaan tarkalleen vastakkaisen pinnan vastakkaisen voiman avulla. Toinen tapa, joka antaa intuitiota, on pallo nesteen sisällä, jossa paine on vakio kaikkialla: minkä tahansa pisteen voima tasapainotetaan tarkalleen vastapuolella olevalla voimalla. Divergenssilause-argumentin avulla voit yksinkertaisesti päätellä tällaisten johtopäätösten yleisyyden, jotka voit tehdä symmetrisille esineille.

Siirrytään nyt painekenttään, joka häviää sinulle kuin sukeltajalle; Kun suunta $ \ mathbf {\ hat {z}} $ lasketaan alaspäin, painekenttä pysyvän nesteen sisällä, joka sijaitsee planeetan pinnalla, jonka säde on paljon suurempi kuin meidän on otettava huomioon, on:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

missä $ \ rho $ on nesteen tiheys, $ g $ painovoiman kiihtyvyys ja $ p_0 $ paine arvolla $ z = 0 $. Jos liitämme tämän kohtaan (2), saat:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hattu {z}} \ tag {4} $$

missä $ V_f $ on syrjäytetyn nesteen määrä. Tämä on tietysti Archimedes-periaate; se pitää nestemäiset alueet riittävän pieninä, jotta paineen vaihtelu on lineaarinen sijainnin funktio. Vaikka näyttää siltä, että ”siirtynyt neste työntää taaksepäin” niin monta epämääräistä selitystä kelluntatilasta, mutta tämä on hölynpölyä. Siirtymätön neste ei ole edes siellä: periaate on vain tuloksia matemaattisten temppujen soveltamisesta kääntämään perusperiaate, joka sisältyy tekstiisi, jonka lainasin tämän vastauksen ensimmäisellä rivillä ja (1) ja ” syrjäytetyn nesteen palautus ”on vain muistin muistuttaa periaatetta.

Kaksi muuta kommenttia on järjestyksessä:

1. Huomaa ensinnäkin, että kohdan (4) vastaus on riippumaton arvosta $ p_0 $. Jos siis runko ei ole kokonaan veden alla (kuten toimivan veneen runko), voimme yksinkertaisesti ottaa tilavuuden ja nesteen leikkauspisteen olevan tilavuuden $ V $; nesteen pinnan ja tilavuuden leikkauspiste rajoittavat sitten alennetun tilavuuden ja voiman osuuden yläpinta on tällöin tyhjä (koska voimme asettaa mielivaltaisesti $ p_0 = 0 $ muuttamatta tuloksia).
2. Toiseksi, jos taas olet epämiellyttävä divergonilauseesta, tee kuution analyysi reunat pystysuorassa ja vaakasuorassa esimerkkinä. Vaikka painovoima vaihtelee pystysuorien pintojen välillä, kummankin pystysuoran pinnan painepinnat ovat edelleen täsmälleen vastakkaiset vastakkaisten pintojen kanssa. Nettovoima on kuution ala- ja yläpinnan voiman ero, joka (3) on Archimedeksen periaatteella laskettu voima.

Sukeltajana tiedät, että paine kasvaa, kun menet syvemmälle.

Kuvittele sylinteriä, jota pidetään pystysuorassa veden alla. Sylinterin yläosassa oleva voima on paine kertaa pinta-ala (paineen määritelmän mukaan). Sylinterin pohjalla pinta-ala on sama, mutta voima on suurempi (syvempi, suurempi paine). Näiden välinen ero on kelluvuus.

Kun sinulla on ”minkä tahansa” muotoinen esine, voit ajatella sen olevan äärettömän monista ohuista sylintereistä (oljet, joiden päät ovat kiinni, jos haluat) ). Voit nyt toistaa laskelman jokaiselle näistä. Tämä osoittaa, että tämä pätee myös silloin, kun esine on hauska muoto.

Sattuu niin, että ero on yhtä suuri kuin syrjäytetyn veden paino – mutta mielestäni yllä oleva on vähemmän abstraktia.

Muista aina turvapysähdyksesi!

Kommentit

• Kiitos @floris! Kyllä, tällä on järkeä nyt. Minulla oli ongelma ilmassa, jossa uskoin, että esineessä on niin pieni paineen muutos, että se ei voinut ’ aiheuttaa riittävää kelluvuutta. Mutta kun ajattelen sen sijaan, että massa työntää ylhäältä ja massa työntää alhaalta (kuten sanot), se näyttää täysin kohtuulliselta. Ja tietysti tämä työntömassa on ” paine ”, joten paineen gradientin selityksen on myös oltava oikea. Kiitos 🙂

No, olen aina ajatellut sitä gravitaatiovetona muulle kuin -tasapainotila.

Yritä kuvata 2 erilaista palloa päällekkäin taivaalta (maan ilmakehässä). Jos kevyempi pallo on painavamman pallon päällä, kevyempi pallo erottuu Jos painavampi pallo on kevyemmän pallon päällä, meillä on 2 vaihtoehtoa:

1. Tasapainotila – Tarkoittaa, että painavampi pallo on suoraan kevyemmän pallon päällä – Palloa ei kiihdytä sivuttain – vain alaspäin. Pallot putoavat yhtenä.
2. Raskaampi pallo on hieman sivusuunnassa kevyempään palloon nähden (ne koskettavat edelleen). Tällöin painavampi pallo rullaa kevyemmän pallon sivuttain ja menee kevyemmän pallon alle (kiihtyy nopeammin).

Yritä nyt kuvitella tämä miljoonien pallojen pudotessa taivaan läpi. Se on tavallaan loogista raskaammat menevät valon alle ter ne, eikö totta?

(Tämä ei ole oikeastaan ”fysiikan” vastaus, se on enemmän vain yksinkertainen esimerkki peruskäsitteestä)

Kommentit

• Molempia palloja kiihdytetään samalla nopeudella. Miksi ne erottuvat toisistaan?
• Vetovoimat hidastavat kevyempää palloa

Paine yksinkertaisimmassa merkityksessään on vain alueen yli vaikuttava voima. Kuvittele kaikki auton hiukkaset. Ilman paine on todella mitata keskimääräistä voimaa, jolla nämä hiukkaset työntävät toisiaan vastaan. Kun tuomme heliumpallon kellumaan autossa, ilmapartikkelit työntyvät heliumhiukkasia vasten ja heliumhiukkaset työntävät takaisin ilmapartikkeleita.

Siellä on vähän staattista tekniikkaa; heliumatomien voimat työntävät kaikkia eri suuntiin, mutta koska ne kaikki sisältyvät ilmapalloon ja kaikki työntävät samalla voimalla, voidaan olettaa, että nämä voimat kaikki kumoavat toisensa ja ainoat ilmapalloon vaikuttavat voimat kokonaisuus ovat ulkoisia. Tässä vaiheessa ilman sitä vaikuttavia voimia, ilmapalloa voitiin työntää vapaasti mihin tahansa suuntaan ilman olennaisesti voimaa. Ilma ei kuitenkaan työnnä sitä mihinkään, koska ilma myös työntää ilmapalloa sisään kaikista suunnista ja poistaa siten myös itsensä.

Nyt voima lasketaan massa * -kiihtyvyydeksi (alias.päähän keilailu lyö sinua kovemmin kuin samalla nopeudella liikkuva marmori, koska sillä on enemmän massaa ja siten enemmän voimaa). Kiihtyvyys molekyylitasolla on suoraan verrannollinen lämpötilaan. Koska kaikkien autossa olevien kaasujen lämpötila on sama, voimme peruuttaa sen, ja ainoa asia, joka vaikuttaa hiukkasten työntövoimaan, on hiukkasten massa.

Paluu autollemme : Painovoima vetää kaikki auton hiukkaset samalla vakionopeudella, 9,8 m / s ^ 2. Ilmapartikkelit vedetään alas voimalla, joka on yhtä suuri kuin niiden massa * 9,8 m / s ^ 2. Myös heliumpartikkelit vedetään samalla kiihtyvyydellä, mutta koska niiden massa on niin paljon pienempi kuin hapen, typen ja muiden ilmassa olevien hiukkasten, niiden alaspäin suuntautuva voima on paljon pienempi ja sitä enemmän ne työntävät ylöspäin voimakkaat ilmapartikkelit. Siksi ilmapallo kelluu.

Seuraavaksi auto alkaa liikkua. Hitauslain mukaan (levossa olevalla esineellä on taipumus pysyä levossa, kunnes ulkopuolinen voima vaikuttaa siihen), vaikka auto alkaa liikkua eteenpäin, kaasupartikkelit pysyvät paikallaan. Kuvittele kojelaudan yläpuolella kelluva pallo, joka pysyy tässä absoluuttisessa paikassa riippumatta siitä, kuinka liikut. Vedä jalka eteenpäin, ja nyt se on keskikonsolin yläpuolella. Toinen pari jalkaa ja se on takaistuimellasi. Näin tapahtuu kaikille auton kaasupartikkeleille. Nyt kaikki hiukkaset ovat siirtyneet ajoneuvon takaosaan, ja edessä on paljon vähemmän. Koska ilmapallon takana on nyt enemmän ilmapartikkeleita sen työntämiseen kuin sen takana, voimat eivät enää peruuta toisiaan ja ilmapallo työnnetään eteenpäin.

Toivottavasti tämä auttaa selittämään sen selkeämmin. . Anteeksi, että tämä oli melko sanatonta, kerro minulle, jos tarvitset jotain selitettävää paremmin!

Kommentit

• Jotkut epävakaat fysiikat … esimerkiksi, keilapallo lyö kovemmin kuin marmori, joka liikkuu samalla nopeudella, koska se vie enemmän vauhtia, joten sen pysäyttäminen aiheuttaa suuremman muutoksen vauhdissa, mikä tarkoittaa enemmän voimaa, jos molemmat pysähtyvät samassa aikavälissä. Noin puolet vastauksesta on hieno, ja laajalti se ’ on enemmän tai vähemmän oikea, mutta siitä puuttuu useita (tärkeitä) yksityiskohtia.
• Totta, se ’ on ollut jonkin aikaa plus yrittänyt yksinkertaistaa niin paljon kuin mahdollista. Voit vapaasti muokata tarvittaessa.