Haluaisin oppia laskemaan jatkuvan satunnaismuuttujan odotetun arvon. Odotettu arvo on $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$, jossa $ f (x) $ on todennäköisyystiheysfunktio / $ X $.
Oletetaan, että $ X $: n todennäköisyysfunktio on $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- x ^ {2}} {2}} $$, joka on normaalin normaalijakauman tiheys.
Joten liitän ensin PDF-tiedoston ja saan $$ E [X] = \ int_ { – \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ mikä on melko sotkuisen näköinen yhtälö. Vakio $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ voidaan siirtää integraalin ulkopuolelle, jolloin $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
Jään tänne. Kuinka lasken integraalin? Teenkö tämän oikein tähän mennessä? Onko yksinkertaisin tapa saada odotettu arvo?
Kommentit
- kysymyksesi otsikko on harhaanjohtava. Yrität itse asiassa laskea normaalin normaalin satunnaismuuttujan odotetun arvon. Voit myös laskea matkailuauton funktion odotetun arvon. Lisään mieluummin otsikkoon: ” Kuinka lasketaan normaalin normaalijakauman odotettu arvo. ” Tai ” Jatkuvan satunnaismuuttujan odotetun arvon laskeminen. ”
- @Gu ð mundurEinarsson korjattu.
- ” Jään tänne. Kuinka lasken integraalin? ” Etsi johdannainen luvusta $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $. (Ei, en ole viehättävä ja ehdotan tarpeetonta kiireistä työtä sinulle; olen tappavan vakava; Tee vain!) Tuijota sitten kovasti löytämääsi johdannaista.
Vastaa
Olet melkein perillä, seuraa viimeistä vaihe:
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ keskellä _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
Tai voit käyttää suoraan sitä, että $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ on pariton funktio ja integraalin rajat ovat symmetria.
Kommentit
- Symmetria-argumentti toimii vain, jos molemmat puolikkaat ovat itsessään yhteneviä.
- Voisitko selittää, mitä tapahtuu toisella rivillä?
- Glen ’ kommentti on oikea, jos se ei ole yhteneväinen, muuttujien muutos ei toimi
- Toinen rivi on yhtä suuri kuin ensimmäinen rivi, koska $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ huomioi myös negatiivisen merkin alussa. Sitten voit ajatella muuttujan muutosta integraatiota varten, sitten muutat sen takaisin, koska rajat eivät muuttuneet. Tai voit käyttää integrointia osittain. Ja muista $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- Symmetrian käyttämiseksi keskiarvon saamiseksi sinun on tiedettävä, että $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ lähentyy – se tapahtuu tässä tapauksessa, mutta yleisemmin voit ’ t olettaa sen. Esimerkiksi symmetria-argumentti sanoisi, että standardin Cauchy keskiarvo on 0, mutta sillä ei ole ’ t.
Vastaa
Koska haluat oppia menetelmiä odotusten laskemiseksi ja haluat tietää joitain yksinkertaisia tapoja, nautit hetkenmuodostustoiminto (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
Menetelmä toimii erityisen hyvin, kun jakelutoiminto tai sen tiheys annetaan itse eksponentteina. Tässä tapauksessa sinun ei todellakaan tarvitse tehdä mitään integrointia havaittuasi
$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$
koska normaalin normaalitiheysfunktion kirjoittaminen arvoon $ x $ muodossa $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (vakiolle $ C $, jonka arvoa ei tarvitse tietää), tämä antaa sinun kirjoittaa sen mgf uudelleen
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$
Oikealla puolelta, seuraa $ e ^ {t ^ 2/2} $ -termin, tunnistat normaalin jakauman todennäköisyyden integraalin keskimääräisellä $ t $ -yksiköllä ja yksikkövarianssilla, joka on siis $ 1 $. Näin ollen
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$
Koska Normaali-tiheys pienenee suurilla arvoilla niin nopeasti, lähentymisongelmia ei ole $ t $ -arvosta riippumatta. $ \ phi $ on tunnistettavasti analyyttinen hintaan 0 $, mikä tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin sen MacLaurin-sarja.
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2 ) + \ frac {1} {2} \ vasen (t ^ 2/2 \ oikea) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ k + \ cdots.$$
Koska $ e ^ {tX} $ lähenee ehdottomasti kaikkia dollarin $ tX $ arvoja, voimme myös kirjoittaa
$$ E [e ^ {tX}] = E \ vasen [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
Kaksi konvergenttia tehosarjaa voi olla yhtä suuri vain, jos ne ovat yhtälöisiä termeittäin, mistä (vertaamalla termejä, joihin liittyy $ t ^ {2k} = t ^ n $)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$
viittaa
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$
(ja kaikki odotukset $ X $: n parittomista voimista ovat nolla). Käytännössä ilman vaivaa olet saanut odotukset kaikista positiivisista integraalivoimista $ X $ kerralla.
Tämän tekniikan muunnelmat voivat toimia yhtä hyvin joissakin tapauksissa, kuten $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, jos $ X $: n alue on sopivasti rajoitettu. Mgf (ja sen lähisukulainen ominaisuusfunktio $ E [e ^ {itX}] $) ovat kuitenkin niin yleisesti hyödyllisiä, että löydät ne jakeluominaisuuksien taulukoista, kuten Wikipedia-merkintä normaalijakelussa .