Kuinka lasketaan suhteellinen virhe, kun todellinen arvo on nolla?

Vaihtoehtoja on monia , käyttötarkoituksesta riippuen.

---

Yleinen on laboratorioiden laadunvalvontamenetelmissä käytetty ”suhteellinen prosenttiero” (RPD). Vaikka löydät monia näennäisesti erilaisia kaavoja, ne kaikki vertailevat kahden arvon eroa keskimääräiseen suuruuteensa:

$$ d_1 (x, y) = \ frac {x – y} {( | x | + | y |) / 2} = 2 \ frac {x – y} {| x | + | y |}. $$

Tämä on allekirjoitettu lauseke, positiivinen, kun $ x $ ylittää $ y $, ja negatiivinen, kun $ y $ ylittää $ x $. Sen arvo on aina välillä $ -2 $ ja $ 2 $. Käyttämällä absoluuttisia arvoja nimittäjässä se käsittelee negatiivisia lukuja kohtuullisella tavalla. Suurin osa löydetyistä viitteistä, kuten New Jerseyn DEP-sivustojen korjausohjelman tietojen laadun arviointi ja tietojen käytettävyyden arvioinnin tekniset ohjeet , käyttävät absoluuttista arvoa $ d_1 $, koska heitä kiinnostaa vain suhteellisen virheen suuruus.

---

A Wikipedia-artikkeli aiheesta Suhteellinen muutos ja ero havaitsee, että

$$ d_ \ infty (x, y) = \ frac {| x – y |} {\ max (| x |, | y |)} $$

käytetään usein suhteellisen toleranssitestinä liukuluku-numeerisissa algoritmeissa. Samassa artikkelissa huomautetaan myös, että kaavat, kuten $ d_1 $ ja $ d_ \ infty $, voidaan yleistää muotoon

$$ d_f (x, y) = \ frac {x – y} {f (x, y)} $$

jossa funktio $ f $ riippuu suoraan $ x $: n ja $ y $: n suuruuksista (yleensä olettaen, että $ x $ ja $ y $ ovat positiivisia). Esimerkkeinä se tarjoaa niiden maksimi-, minimi- ja aritmeettisen keskiarvon (ottamatta itse $ x $: n ja $ y $: n absoluuttisia arvoja ja ottamatta niitä), mutta voidaan harkita muunlaisia keskiarvoja, kuten geometrinen keskiarvo $ \ sqrt {| xy |} $, harmoninen keskiarvo $ 2 / (1 / | x | + 1 / | y |) $ ja $ L ^ p $ tarkoittaa $ ((| | x | ^ p + | y | ^ p) / 2) ^ { 1 / p} $. ($ d_1 $ vastaa arvoa $ p = 1 $ ja $ d_ \ infty $ vastaa rajaa muodossa $ p \ to \ infty $.) Voidaan valita $ f $ perustuen odotettuun tilastolliseen käyttäytymiseen $ x $ ja $ y $. Esimerkiksi noin lognormaalilla jakaumalla geometrinen keskiarvo olisi houkutteleva valinta $ f $: lle, koska se on mielekäs keskiarvo siinä tilanteessa.

---

Suurin osa näistä kaavoista törmää vaikeuksiin, kun nimittäjä on yhtä suuri nolla. Monissa sovelluksissa joko joko ei ole mahdollista tai on vaaraton asettaa ero nollaksi, kun $ x = y = 0 $.

Huomaa, että kaikilla näillä määritelmillä on perusvariaatio ominaisuus: mitä tahansa suhteellisen eron funktiota $ d $ saattaakin olla, se ei muutu, kun argumentit skaalataan tasaisesti luvulla $ \ lambda \ gt 0 $:

$$ d (x, y) = d ( \ lambda x, \ lambda y). $$

Juuri tämän ominaisuuden avulla voimme pitää $ d $: ta suhteellisena erona. Täten erityisesti ei-invariantti funktio, kuten

$$ d (x, y) =? \ \ Frac {| xy |} {1 + | y |} $$

ei yksinkertaisesti täytä vaatimuksia. Riippumatta siitä mitä hyveitä sillä on, se ei ilmaise suhteellista eroa.

---

Tarina ei pääty tähän. Saatamme jopa olla hedelmällistä työntää muuttamattomuuden vaikutuksia hieman pidemmälle.

Joukko kaikki järjestetyt reaaliluvuparit $ (x, y) \ ne (0,0) $, joissa $ (x, y) $ katsotaan olevan sama kuin $ (\ lambda x, \ lambda y) $ on Oikea projektiorivi $ \ mathbb {RP} ^ 1 $. Sekä topologisessa että algebrallisessa mielessä $ \ mathbb {RP} ^ 1 $ on ympyrä. Mikä tahansa $ (x, y) \ ne (0,0) $ määrittää ainutlaatuisen rivin alkupuolen $ (0,0) $ kautta. Kun $ x \ ne 0 $, sen kaltevuus on $ y / x $; muuten voimme pitää sen kaltevuutta ”äärettömänä” (ja joko negatiivisena tai positiivisena). Tämän pystysuoran viivan naapuruus koostuu linjoista, joilla on erittäin suuret positiiviset tai erittäin suuret negatiiviset kaltevuudet. Voimme parametroida kaikki tällaiset viivat kulman $ \ theta = \ arctan (y / x) $ suhteen parametrilla $ – \ pi / 2 \ lt \ theta \ le \ pi / 2 $.Jokaiseen tällaiseen $ \ theta $: een liittyy ympyrän piste,

$$ (\ xi, \ eta) = (\ cos (2 \ theta), \ sin (2 \ theta)) = \ vasen (\ frac {x ^ 2-y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}, \ frac {2xy} {x ^ 2 + y ^ 2} \ oikea). $$

Mitä tahansa ympyrälle määritettyä -etäisyyttä voidaan siis käyttää suhteellisen eron määrittelemiseen.

Harkitse esimerkkinä siitä, mihin tämä voi johtaa, ympyrän tavanomainen (euklidinen) etäisyys, jolloin kahden pisteen välinen etäisyys on niiden välisen kulman koko. Suhteellinen ero on pienin, kun $ x = y $ vastaa $ 2 \ theta = \ pi / 2 $ (tai $ 2 \ theta = -3 \ pi / 2 $, kun $ x $: lla ja $ y $: lla on vastakkaiset merkit). Tästä näkökulmasta positiivisten lukujen $ x $ ja $ y $ luonnollinen suhteellinen ero olisi etäisyys tähän kulmaan:

$$ d_S (x, y) = \ left | 2 \ arctan \ vasen (\ frac {y} {x} \ oikea) – \ pi / 2 \ oikea |. $$

Ensimmäiseen järjestykseen tämä on suhteellinen etäisyys $ | xy | / | y | $ – -mutta se toimii vaikka $ y = 0 $. Lisäksi se ei räjäytä, vaan sen sijaan (allekirjoitettuna etäisyytenä) on rajoitettu välillä $ – \ pi / 2 $ ja $ \ pi / 2 $, kuten tämä kaavio osoittaa:

Tämä viittaa siihen, kuinka joustavat valinnat ovat, kun valitaan tapa mitata suhteellisia eroja.

kommentit

• kiitos kattavasta vastauksesta, mikä mielestäsi on paras viite tälle riville: ” käytetään usein suhteellisen toleranssitestinä liukuluku-numeerisissa algoritmeissa. Samassa artikkelissa huomautetaan myös, että kaavat, kuten d1d1 ja d∞d∞, voidaan yleistää muotoon ”
• @Hammad Seuraitko linkkiä Wikipedia-artikkeliin?
• Joo! Katsoin Wikipediaa; luulen, että ’ s ei varsinaista viittausta (myös kyseisellä rivillä ei ole viitteitä wikissä)
• btw, ei koskaan löysin tälle akateemisen viitteen 🙂 tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.1985.10479385
• @KutalmisB Kiitos huomatessasi, että ” min ” ei kuulu ’ t ollenkaan. Näyttää siltä, että se on voinut olla monimutkaisemman kaavan jäännös, joka käsitteli kaikki mahdolliset $ x $: n ja $ y $: n merkit, joita myöhemmin yksinkertaistin. Olen poistanut sen.

Huomaa ensin, että otat yleensä absoluuttisen arvon laskettaessa suhteellista virhe.

Yleinen ratkaisu ongelmaan on laskeminen

$$ \ text {suhteellinen virhe} = \ frac {\ left | x _ {\ text {true}} – x _ {\ text {test}} \ right |} {1+ \ left | x _ {\ text {true}} \ right |}. $$

Kommentit

• Tämä on ongelmallista, koska se vaihtelee arvoille valittujen mittayksiköiden mukaan.
• Että ’ s täysin totta. Tämä ei ole ’ täydellinen ratkaisu ongelmaan, mutta se on yleinen lähestymistapa, joka toimii kohtuullisen hyvin, kun $ x $ on hyvin skaalattu.
• Voisitteko kertoa tarkemmin vastauksesi siihen, mitä tarkoitat ” tarkkuudella ”? Oletetaan esimerkiksi, että tiedot syntyvät vesipitoisen kemiallisen mittausjärjestelmän kalibroinnista, joka on suunniteltu pitoisuuksille 0 $ – 0,000001 $ moolia / litra ja jolla voidaan saavuttaa esimerkiksi kolmen merkitsevän numeron tarkkuus. ” suhteellinen virheesi ” olisi siten jatkuvasti nolla lukuun ottamatta ilmeisesti virheellisiä mittauksia. Kuinka valaisit tarkalleen tällaiset tiedot tämän perusteella?
• Esimerkkisi on sellainen, että muuttujaa ei ole ’ mittakaavassa hyvin. Tarkoitan ” hyvin skaalattua ”, tarkoitan, että muuttuja skaalataan siten, että se ottaa arvot pienellä alueella (esim. Pari suuruusluokkaa) lähellä 1. Jos muuttujasi saa arvot monessa suuruusluokassa kuin sinulla ’ sinulla on vakavampia skaalausongelmia ja tämä yksinkertainen lähestymistapa ei ole ’ t riitä.
• Onko viitteitä tähän lähestymistapaan? Menetelmän nimi? Kiitos.

MAPE: n etsiminen,

Se on erittäin kiistanalainen aihe ja monet avoimen lähdekoodin kirjoittajat ovat keskustelleet yllä olevasta aiheesta. Kehittäjät noudattavat tähän asti tehokkainta lähestymistapaa. Katso lisätietoja tästä PR : stä.

Olin tässä hieman hämmentynyt jonkin aikaa. Loppujen lopuksi, koska jos yrität mitata suhteellista virhettä nollan suhteen, yrität pakottaa jotain, jota yksinkertaisesti ei ole.

Jos ajattelet asiaa, verrataan omenoita appelsiiniin, kun verrataan suhteellista virhettä nollasta mitattuun virheeseen, koska nollasta mitattu virhe vastaa mitattua arvoa (siksi saat 100% virheen, kun jaat testinumerolla).

Harkitse esimerkiksi mittaripaineen (ilmakehän suhteellisen paineen) ja absoluuttisen paineen mittausvirhettä. Sano, että käytät mittaria mittaripaineen mittaamiseen täydellisissä ilmakehän olosuhteissa, ja laitteesi mittaa ilmakehän paineen piste niin, että sen pitäisi tallentaa 0% virhe. Käyttämällä antamaasi yhtälöä ja olettaen ensin, että käytimme mitattua mittaripainetta, suhteellisen virheen laskemiseksi: $$ \ text {suhteellinen virhe} = \ frac {P_ {mittari, true} – P_ {gauge, test}} {P_ {gauge, true}} $$ Sitten $ P_ {gauge, true} = 0 $ ja $ P_ {gauge, test} = 0 $ ja et saa 0% virhettä, vaan sitä ei ole määritelty. Tämä johtuu siitä, että todellisen prosentuaalisen virheen tulisi käyttää absoluuttisia painearvoja seuraavasti: $$ \ text {suhteellinen virhe} = \ frac {P_ {absoluuttinen, tosi} -P_ {absoluuttinen, testi}} {P_ {absoluuttinen, tosi}} $$ nyt $ P_ {absoluuttinen, tosi} = 1atm $ ja $ P_ {ehdoton, testi} = 1atm $ ja saat 0% virheen. Tämä on suhteellisen virheen asianmukainen soveltaminen. Mittapainetta käyttävä alkuperäinen sovellus muistutti enemmän ”suhteellisen arvon suhteellista virhettä”, joka on erilainen asia kuin ”suhteellinen virhe”. Sinun on muunnettava mittapaine absoluuttiseksi ennen suhteellisen virheen mittaamista.

Ratkaisu kysymykseesi on varmistaa, että olet tekemisissä absoluuttisten arvojen kanssa suhteellisen virheen mittauksessa, jotta nolla ei ole mahdollista. Sitten saat todella suhteellisen virheen, ja voit käyttää sitä epävarmuutena tai mittarina todellisesta virheprosentistasi. Jos sinun on noudatettava suhteellisia arvoja, sinun pitäisi käyttää absoluuttista virhettä, koska suhteellinen (prosentti) virhe muuttuu referenssipisteestäsi riippuen.

On vaikea laittaa konkreettista määritelmää arvoon 0. .. ”Nolla on kokonaisluku, joka on merkitty 0: lla, mikä tarkoittaa sitä, että kun sitä käytetään laskennanumerona, ei ole esineitä.” – Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/Zero.html

Voit vapaasti nollata valintaa, mutta nolla ei merkitse mitään, sitä ei ole. Siksi ei ole järkevää käyttää mittapainetta suhteellisen virheen laskennassa. Vaikka olisikin hyödyllistä, olettaa, että ilmanpaineessa ei ole mitään. Tiedämme, että näin ei kuitenkaan ole, koska sen absoluuttinen paine on 1 atm. Siksi suhteellista virhettä ei ole, ei vain ole, sitä ei ole määritelty .

Voit vapaasti kiistää tätä vastaan, yksinkertaisesti sanottuna: kaikki pikakorjaukset, kuten yhden lisääminen alimpaan arvoon, ovat virheellisiä ja epätarkkoja. Ne voivat olla hyödyllisiä, jos yrität vain minimoida virheitä. Jos yrität kuitenkin tehdä tarkkoja epävarmuuden mittauksia, niin ei niin paljon …