Kysymykseni on kuinka lasketaan tyypin II virhe $ \ beta $?
-
Oletetaan, että haluan testata $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (minun on laskettava tyypin II virhe $ \ beta $, joten minun on korjattava $ \ mu $, sanotaan 1, muodossa $ H_1 $).
-
Oletetaan, että $ H_0 $: n jakauma on $ F_0 $, $ H_1 $ on $ F_1 $, missä $ E [\ xi] = 0 $, jos $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $, jos $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Luon nyt arvion arvolle $ \ mu $, sanon $ \ bar {X} _n $ ja testitilastot $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (oletetaan, että $ \ sigma $ on tiedossa).
-
Luon nyt hylkäyssäännön ($ H_0 $): $ S_n > b $.
-
Tyypin II virhe lasketaan muodossa $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Kysymykseni ovat (haluatko vahvistaa kolme asiaa):
-
Yllä oleva rakennelogiikka on oikea, eikö?
-
”$ P_ {F_1} (S_n > b) $” -jakauma on $ F_1 $, eikö?
-
[huolestuttaa eniten] $ S_n $ -kohdassa ”$ P_ {F_1} (S_n > b) $” tulisi käyttää $ F_0 $ laskeaksesi, eikö?
-
Tarkoitan, riippumatta tyypin I tai II virheestä, jonka lasken, minun on aina käytettävä $ F_0 $ testitilastojen laskemiseen, eikö?
-
Tarkoitan, että $ S_n $ on aina $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ tyypin I tai II virhelaskennassa mutta ei $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ laskettaessa $ \ beta $, eikö?
-
Tai tämän ei pitäisi olla ongelma, koska testitilastot ovat vain otoksen funktio ja niihin ei pitäisi sisältyä parametreja?
-
Kommentit
- Tyypin II virhe ei ole hylätä nollahypoteesia, kun se on väärä, ts. $ H_1 $ on tosi. Luulen, että sinun pitäisi käyttää $ F_1 $ laskeaksesi P: n, mutta et $ F_0 $, kun olet kirjoittanut $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Voit myös viitata tehon laskemiseen, joka perustuu parametriin $ H_1 $, ja tyypin II $ \ beta $ = 1-teho
- Kiitos! Olet oikeassa. Tein virheen. Se on $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ tyypin II virheelle.
Vastaa
Merkitään $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ on jakauma nollahypoteesin alla ja $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ alle $ H_1 $, joten sinulla on testitilasto $ X $ ja haluat testata
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ vs. $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Tavalla, jolla kuvaat sitä, haluat suorittaa yksipuolisen testin ja määrittää kriittisen alueen oikeassa hännässä. Joten kun olet valinnut luottamustason $ \ alpha $, käytät jakaumaa $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ löytääksesi kvantiili-arvon $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ siten, että $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (oletan jatkuvan jakauman). Superindeksi $ (0) $ osoittaa, että todennäköisyydet mitataan alle $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, , joten tarvitset nollajakauman $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ määrittää kriittisen alueen, eli kvantiilin $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Näytteestä voit havaita satunnaismuuttujan $ X $ tuloksen $ x $ ja nolla hylätään, kun $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Toisin sanoen testisi päättää, että $ H_1 \ textrm {päätettiin totta} \ iff x \ kohdassa [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
Testisi teho on todennäköisyys, että $ H_1 $ päätetään totta aina, kun $ H_1 $ on tosi , joten voima on todennäköisyys, että $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ aina, kun $ H_1 $ on tosi, tämä on todennäköisyys, että $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, kun todellinen jakauma on $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ tai teho $ \ mathcal {P} $ on
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Jos superindeksi $ (1) $ osoittaa, että todennäköisyydet lasketaan kohdassa $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Joten teho mitataan arvolla $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $, mutta tarvitset arvon $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, joka lasketaan arvolla $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Käytin tehoa $ \ mathcal {P} $ ja tyypin II virhe $ \ beta $ on $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
Sinun tapauksessasi
Olet oikeassa sanoessasi, että ”” Jakelu kansiossa $ P_ {F_1} (S_n > b ) $ ”is $ F_1 $” ”
Jotta voit löytää $ b $, sinun on kuitenkin käytettävä $ F_0 $. Itse asiassa $ b $ on analoginen mallista $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $