Elinikäisten matematiikan opiskelijoiden mielestä ongelmanratkaisu on ehdottoman välttämätöntä aineemme ymmärtämisen parantamiseksi. Opettamalla muille sen, mitä tiedämme, vahvistaa nykyistä tietämystämme ja levittää tietoa oppijoille.
Kuinka kuitenkin voidaan luoda ”hyviä” ongelmia?
”Hyvällä” tarkoitan ajatuksia herättäviä, inspiroivia ongelmia ratkaisuilla, jotka ovat laajennettavissa muille verkkotunnuksille. Tämä myös rakentuu olympiaongelmien tasolle, jonka ongelmakirjoittajat näyttävät olevan huomattavan kekseliäitä ja luovia uusien ongelmien suunnittelussa.
Kommentit
- Minusta tämä kysymys on liian laaja. En tarkoita ’ tarkoittavan, että voimme ’ t päättää, mikä ” ” tarkoittaa matemaattisen ongelman kannalta. Mutta pikemminkin määritelmä riippuu liian voimakkaasti siitä, (i) kenelle ongelma on suunniteltu, ja (ii) millaista matemaattista sisältöä / tekniikkaa heidän tulisi käyttää. Toisin sanoen ” hyvä ” ongelma 6. luokkalaiselle, joka oppii murto-osia, on hyvin erilainen kuin ” hyvä ” ongelma osoittaa taloustieteen opiskelijalle, kuinka laskenta on hyödyllistä heidän kurinalaisuudessaan.
- Olen samaa mieltä siitä, että olisi parasta saada tämä rajoitettu yhteen matematiikan aiheeseen, esimerkiksi kuinka luoda hyviä topologiaongelmia.
- Joillakin opettajillani oli lyömätön taito kirjoittaa kotitehtäviä / tenttejä, joissa opit paljon tekemällä ongelmia. Toiset vain aiheuttivat tylsiä ongelmia. Ensimmäiset olivat yleensä paljon haastavampia, vaikka eivät ” kovempia ” missään mielessä. Jos tarkastelet ehdotettuja ongelmia oppikirjoissa, näet ’ saman. Pelkään ’ pelkään, että tämä on suurelta osin kyky, jota on vaikea välittää.
- Yksi suurimmista ongelmista, jonka löysin aikaisemmassa koulutuksessa, ei ollut annettu ongelma. Näiden asiayhteyteen asettaminen voisi auttaa melkoisesti. Otetaan esimerkiksi polynomin factoring. Jos laitat sen optimoinnin kontekstiin laskennassa (ratkaisemalla johdannaisen nollat), sen käyttö tulee ilmeiseksi. Hyödyntämällä edistyneemmissä materiaaleissa esitettyjä sanaongelmia ja sitten vain pyytämällä heitä ratkaisemaan ne opetetut osat (edellisessä esimerkissä niiden ottaminen huomioon laskettu johdannainen) on pätevä strategia ongelmien esittämiseen oikeassa yhteydessä.
vastaus
Koska kysymyksesi on hyvin laaja, tässä on hieman laaja vastaus: Lue ongelman asettamisesta.
Kolme avainkappaletta ovat:
Silver, EA (1994). Matemaattisten ongelmien asettamisesta. Matematiikan oppimiseen, 14 (1), 19–28.
ja kirja
Brown, SI, & Walter, MI (2005). Ongelman asettamisen taito . Psychology Press.
Jälkimmäinen on uusintapainos teoksesta, joka ilmestyi ensimmäisen kerran vuonna 1983. Löydät myös asiaan liittyvän kirjan, jonka ovat toimittaneet Brown ja Walter; viittaus uusimpaan versioon on:
Brown, SI, & Walter, MI (Toim. ). (2014). Ongelmien asettaminen: pohdintoja ja sovelluksia . Psychology Press.
Aloita näistä kolmesta asiakirjasta, niiden viitteistä ja muista (siteerattuja) Google-artikkeleista.
Luonnollisen karkeasti Brownin ja Walterin ehdotus: Aloita matemaattisesta skenaariosta, listaa oletukset, vaihda rajoituksia (niiden termeillä: ” What-if- not-ing ”) ja kysy sitten. Voit jopa ” syklin ” tämän prosessin kautta toistuvasti, jotta syntyy yhä monimutkaisempia ongelmia.
Ongelmien asettaminen tuo tietenkin mukanaan vaaran, että et tiedä vastausta kysymykseesi.
Esimerkiksi , aloitusskenaariossasi saattaa olla Pythagoraan lause:
Löydä kaikki kokonaisluku ratkaisut kohteelle $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .
Tätä esimerkkiä tarkastellaan Brownin ja Walterin kirjassa, mutta minusta näyttää järkevältä olettaa, että että eksponentti on kaikkialla $ 2 $ ja pyytää kokonaislukuratkaisuja, kun eksponentti on $ 3 $ .. .. tai, jos joku tuntuu erityisen rohkealta, yleistää ja pyytää eksponentti $ k \ geq 3 $ .
Yhdellä silmäyksellä tämä saattaa tuntua järkevältä kysymykseltä; mutta jos tunnet Fermatin viimeisen lauseen, huomaat, että tämä ei ole sopiva ongelma useimmille opiskelijoille.
Löydät joitain lyhyitä huomautuksiani ongelman asettamisesta ja luovuudesta. $ 4b $ täällä ja muutama muu esimerkki ongelman asettamisesta ja intuitiosta konkreettinen esimerkki jakso täällä .
Viimeinen huomautus: Aloitat mainitsemalla ” välttämättömän ” ongelman ratkaisemisen rooli matematiikan ymmärtämisen parantamisessa. Voi olla syytä huomata, että ongelmalla poseeraus on tärkeä rooli ratkaise; harkitse Polyan heuristiikkaluetteloa ja kuinka moni niistä on kysymyksiä: Mikä on ongelma? Mikä on yksinkertaisempi ongelma? Kuinka voin yleistää tämän ongelman? Jne. (Historiallisesti sekä edellä mainitussa ensimmäisessä kappaleessa oleva Silver että ongelman muotoilussa oleva Kilpatrick seuraavat tätä havaintoa, eli että ongelman asettaminen on olennainen osa ongelmanratkaisua, ainakin takaisin Karl Dunckerin vuoden 1945 paperi.)
Kuten Cantor (1867) kirjoitti väitöskirjassaan:
”In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”
(“ Matematiikassa kysymysten esittäminen on arvokkaampaa kuin ongelmien ratkaiseminen ”).
Kommentit
- Vaikka olen ’ fani P ó lya ’ kirja, pelkään, että sillä on oletus, että sinulle annetaan kaikki tarvittavat tiedot ja vain tarvittavat tiedot, liian paljon sisäänrakennettua . ” Reaalimaailman ” ongelmat liittyvät suurelta osin siihen, mikä on merkityksellistä ja mikä ei ole ’ t, ja kerätään missin g-tiedot.
- @vonbrand Sen lisäksi, että tarkastellaan joitain Polya ’ -kirjoja (post- Kuinka ratkaista se ) I ’ d ehdottaa ” reaalimaailman ” ongelmille tutkien matemaattista mallintamista koskevaa kirjallisuutta. Matematiikan mallinnuksen ja matematiikan opetuksen risteys voidaan silti kampata melko täydellisesti; aloita Pollakin ’ työstä (asiaankuuluva: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) ja siirrä sen viitteisiin …
Vastaus
Minulle on ehkä kolme päätyyppiä ongelmia, jotka määritä:
- Rutiininomainen taitojen rakentaminen : joko mallinnetaan osoittamallani laskennalla Vastaavat ongelmat on ratkaistu, tai ne ovat todisteongelma, joka on vain luonnollinen seuraus määritelmästä, kun tarvitaan vain vähän ylimääräistä tekniikkaa. Todistuskurssilla monet ongelmat ovat muutakin kuin kutsu huolehtia merkinnän todellisesta merkityksestä.
- Leveyden löytö : Jokaisella kurssilla on tiettyjä aiheita, joille meillä ei ole tarpeeksi aikaa luennoilla. Opiskelijoille on erittäin antoisa kokemus ohjata läpi lyhyt ongelmamoduuli, jossa he löytävät aiheen olennaiset piirteet, joita ei lueta perusteellisesti luennoilla ja muilla materiaaleilla.
- Haaste : täällä ei ole kiskoja, laatikkoa tai odotuksia, joita kukaan kurssilla ei ratkaise. Joskus niitä käytetään osoittamaan nykyisen tekniikkaperheen rajoitukset ongelmien ratkaisemiseksi, joskus niihin liittyy jotain sumeaa intuitiota, joka ohjaa luovaa harppausta.
Epäilen suurimman osan kirjoittamistani ongelmista / tai määrätä sopivaksi joko 1 tai 2, mutta opiskelijat syyttävät minua usein 3. Rehellisesti sanottuna yksi syy, miksi yritän surffata MSE: ssä kohtuullisen määrän, on arvioida, mitä kursseillani katetaan muissa yliopistoissa. Lisäksi MSE: n kansainvälinen maku auttaa minua saamaan leikkauksen siitä, mitä kouluissa tapahtuu ympäri maailmaa.
Kommentit
- Jätät pois kaikkien aikojen suosikkitrikkikysymyksen, jossa sinun on keksittävä joitain Rube-Goldbergin käänteitä, jotta sinulla olisi mitään toivoa ongelman ratkaisemisesta. Monia täällä syytetään pulmien tekemisestä, ei kokeista …
- @vonbrand, se todennäköisesti joutuisi haasteen alaiseksi. Usein tällaiset ongelmat alkavat vastauksella, esiintyy jonkin verran pimeää taikaa, johon liittyy sarjoja, ja sitten oppilasta pyydetään näkemään malli … ha ha ha … paha.
Vastaa
Kaksi ehdotusta:
1) Osallistu työpajoihin ja konferensseihin ja etsi ongelmanratkaisutilaisuuksia tai esittäjiä, jotka jakavat suosikkiongelmaansa.”Kun ongelmista ja ratkaisuista keskustellaan, ilmenee ainutlaatuisia menetelmiä ja lähestymistapoja.
2) Rakenna kirjasto ja varaa aikaa lukemiseen. Kerää kirjoja, pdf-tiedostoja ja lähteitä. Oppikirja, joka ei sovellu opiskelijoille, voi olla hieno ongelmien lähde. (Käytä Amazonia ja eBaya saadaksesi käytettyjä versioita, jotka ovat paljon halvempia.) Muokkaa oppikirjan versiota tarpeen mukaan. Luovuus ongelmien luomisessa syntyy selaamalla lähteitä.
Kommentit
- Tutustu matematiikan olympialaisten sivustoihin. Etsi luentomuistiinpanoja, (ratkaistu) tenttejä, kotitehtäviä, … ’ -verkko on täynnä sellaista tavaraa.
Vastaa
Et määrittänyt tiettyä tasoa, mutta mielestäni kysymykselläsi on ansioita Joka tapauksessa. Otan sen K-8-tasolla. Ensin haluan käsitellä erityistä vaatimustasi:
”Hyvällä” tarkoitan ajatuksia herättäviä, inspiroivia ongelmia ratkaisuilla, jotka ovat laajennettavissa muille verkkotunnuksille.
Tulkitsen ”inspiroivan” tarkoittamaan, että opiskelijoilla on motivaatio osallistua ongelman matematiikkaan. ”Ajattelua herättävässä” oletan, että tarkoitat, että ongelmilla on suuri todennäköisyys vaatia opiskelijoita osallistumaan tuottavaan matemaattiseen päättelyyn. Nämä ovat keskeisiä ominaisuuksia opetussuunnitelman hyvissä tutkimuksissa. Toisin sanoen hyvän opetussuunnitelman tulisi sisältää aktiviteetit ja tutkimukset, jotka tyydyttävät nämä.
Kysyin kerran tunnetulta korkealaatuiselta opetussuunnitelman kehittäjältä, kuinka hän tiesi, että hänen opetussuunnitelmansa ongelmat sopivat ” realistinen matematiikan koulutus ”(joka oli lähestymistapa, joka inspiroi hänen opetussuunnitelmaansa. Hän vastasi, että heidän oli kokeiltava kutakin toimintaa todellisten opiskelijoiden kanssa monta kertaa tutkimus- ja kehitysprosessissa. Vaikka ensimmäiset luonnokset ovat voineet perustua teoriaan, todellisuudessa valmiita opetussuunnitelmia testattiin perusteellisesti.
Etsi ja kerää siksi hyvien opetussuunnittelijoiden kehittämiä ongelmia. Rakenna tarvittaessa oma kirjasto tällaisista ongelmista.
Viimeinen huomautus: ehdotitte, että haluaisitte ongelmia, joiden ratkaisut olisivat laajennettavissa muille verkkotunnuksille. Ehdotan, että olette varovainen tämäntyyppisen oletuksen kanssa ongelmien etsimisessä. Mitä he ymmärtävät ongelmien asettamisen ja ratkaiseminen voi auttaa heitä muodostamaan yhteyden osioita kontekstien välillä. Saatat kuitenkin olla vaikea tukea ”verkkotunnuksen siirrettävien ratkaisujen” käsitettä hyvässä matematiikkaopetuksen kirjallisuudessa. Keskity enemmän siihen, millaiseen matemaattiseen päättelyyn opiskelijoilla on mahdollisuus ja resursseja osallistua.