Jos Normaali normaali PDF-tiedosto on $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
ja CDF on $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
miten tämä muuttuu $ z $ -virhefunktioksi?
Kommentit
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Näin tämän, mutta se alkaa ERF: llä jo määritelty.
- No, siellä ' sa määritelmä erf ja määritelmä Normal CDF. Suhteet, jotka voidaan johtaa joillakin rutiinilaskelmilla, ovat miten muuntaa niiden välillä ja miten muuntaa niiden käänteisten välillä.
- Valitettavasti en näe ' monia yksityiskohtia. Esimerkiksi CDF on välillä -Inf – x. Joten miten ERF siirtyy 0: sta x: ään?
- Tunnetko muuttujan muutoslaskutekniikan? Jos ei, opi tekemään se.
Vastaa
Koska tämä tulee esiin usein joissakin järjestelmissä (esimerkiksi Esimerkiksi Mathematica vaatii normaalin CDF: n ilmaisemista muodossa $ \ text {Erf} $), on hyvä, että sinulla on tällainen ketju, joka dokumentoi suhteen.
-määrityksen mukaan virhetoiminto on
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
$ t ^ 2 = z ^ 2/2 $: n kirjoittaminen merkitsee $ t = z / \ sqrt {2} $ (koska $ t $ ei ole negatiivinen), mistä $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Päätepisteet $ t = 0 $ ja $ t = x $: sta tulee $ z = 0 $ ja $ z = x \ sqrt {2} $. Saadun integraalin muuntamiseksi kumulatiiviseksi jakofunktioksi (CDF) näyttävän integraalin on oltava ilmaistu integraaleilla, joilla on alarajat $ – \ infty $, siis:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ vasen (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ oikea). $ $
Nämä oikeanpuoleisessa koossa olevat integraalit ovat molemmat normaalin normaalijakauman CDF-arvoja,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Tarkemmin sanottuna,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ vasen (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Tämä osoittaa, kuinka virhefunktio ilmaistaan normaalilla CDF: llä. Sen algebrallinen manipulointi antaa normaalille CDF: lle virhetoiminnon:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Tämä suhde (joka tapauksessa joka tapauksessa reaaliluvuille) näkyy kahden funktion kaavioissa. Kaaviot ovat identtiset käyrät. Vasemmalla olevan virhetoiminnon koordinaatit muunnetaan oikealla olevan $ \ Phi $ -koordinaateiksi kertomalla $ x $ -koordinaatit $ \ sqrt {2} $: lla, lisäämällä $ 1 $ $ y $ -koordinaatteihin ja sitten jakamalla $ y $ -koordinaatit $ 2 $: lla, mikä kuvaa suhdetta
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
jossa merkinnät osoittavat nimenomaisesti nämä kolme kertolasku-, summaus- ja jakotoimintoa.
kommentit
- luulen, että $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ on oikea tapa yhdistää ne ottaen huomioon keskiarvo ja keskihajonta.