Kuusikulmion laatta timanteilla

Luulen, että olen löytänyt todella helpon todistuksen.

Jokaisessa pystysuoralla sivulla olevassa laatassa on oltava kaksi muuta laattaa, joiden vieressä on pystysuorat sivut , tai kuusikulmion pystysuora raja. Annetulla pystysuuntaisilla sivuilla näiden vierekkäisten laattojen seuraaminen antaa tietyn polun kuusikulmion molemmille pystysuorille puolille.

Tämä tarkoittaa, että jokainen pystysuorilla sivuilla oleva laatta sijaitsee polulla, joka alkaa sivun vasemmasta reunasta. kuusikulmio ja päättyy oikealle ja koostuu vain pystysuorilla sivuilla olevista laatoista. Mikään näistä poluista ei voi leikata, koska se loisi kaksi erilaista polkua yhdestä ruudusta pystysuorilla sivuilla kuusikulmion vasemmalle puolelle, jota ei voi olla ensimmäisen kappaleen mukaan.

Koska mikään polkuista ei ole olemassa jokaisen kuusikulmion vasemman ja oikean puolen välisen polun on aloitettava ja lopetettava samalla korkeudella. Siksi jokaisella polulla on oltava sama määrä kutakin pystysuorilla sivuilla olevaa eri suuntaista laattaa. Koska jokainen pystysuorilla sivuilla oleva laatta on tuolla polulla, näiden kahden eri suuntaisen laatan kokonaismäärän on oltava yhtä suuri.

Toista tämä symmetrisesti kahdelle muulle suunnalle, jotta saat selville, että kunkin suunnan ruutujen määrän on oltava ole tasa-arvoinen.

Kommentit

• Erittäin mukava todiste. Mielestäni sen voisi tehdä vielä helpommaksi yksinkertainen havainto, että a + b = b + c = c + a vastaa a = b = c. Sitten voit pudottaa koko risteyksen ja ylös ja alas tavaraa. Laske sen sijaan vain pystysuuntaiset aivohalvaukset. Argumenttisi mukaan niiden on oltava sama numero jokaisessa ” sarakkeessa ” ja rajalla. Voit kartoittaa 1: stä 1 kaikki pystysuorat vedot, paitsi vasemman reunan, sanoen kaikkiin laatoihin, joilla on pystysuorat sivut (eli kahdenlaisia, kuten yllä olevassa a + b: ssä) yhdistämällä kukin tällainen ruutu sen oikea pystyreuna.
• Ah, olet ’ oikeassa. Kun tiedät, että kussakin suunnassa on yhtä monta lyöntiä, tulos seuraa helposti.

Haluan lähettää vastauksen, joka on intuitiivisempi kuin matemaattinen .
Tämä kuva edustaa sitä täydellisesti:

Valkoista, harmaata ja mustaa käytetään korostamaan timantteja samalla suunnalla. Oikea kuva näyttää outoa kiinteää, luulen, että kaikki näkevät sen.
No, on intuitiivista nähdä, että missä tahansa kokoonpanossa musta alue on vastaava (myös valkoinen ja harmaa): se tykkää suulakepuristamalla lattian osia (eli rakennuksen portaita!), alue, jolla voit kävellä, ei muutu!

Kommentit

• Muotosi pysyy kääntyy päähäni. Yksi hetki musta on ” ylös ”, seuraavaksi se on ” alas ”. Mutta pidän tästä todisteesta.
• @Floris Tarkoitukseni on todellakin ratkaista tämä ongelma pulmana (me ’ uudelleen palapelissä, eheh!), eikä puhtaana matemaattisena tehtävänä.
• Olet ’ olettaen, että jokainen ratkaisu ” näyttää ” pino kuutioilta. Mistä tiedät sen olevan totta? Todellakin, olettaen, että jokainen ratkaisu näyttää kuutiosta on kaunis paljon olettaen asia, jota ’ pyydetään todistamaan.
• @Floris: Oi, kesti jonkin aikaa nähdäksesi sen käännettynä, ja kun olen, minun on taisteltava ” pitää ” tätä tulkintaa ja se satuttaa päätäni. Oletan, että soitin liian paljon Q * bertiä nuoruudessani.
• @ leoll2 ’ on sinun tehtäväsi vakuuttaa meille, että se ei voi olla ’ muuta. Kuinka voin olla varma, ettei ’ t ole mitään outoa laatoitusta, joka ei ’ näytä kuutioista?

Tässä on 3D-inspiroima todiste.

Ota mikä tahansa ruudullinen kuusikulmio ja katso sen pystysuorat viivat.

Huomaa ensin, että laattojen muodon vuoksi kaikilla pystyviivoilla on oltava sama pituus kuin kuusikulmion vasemmalla ja oikealla puolella, ja mahdollisesti niiden välissä on rakoja.

Jos siis missään niistä ei ole aukkoja ja ne kaikki päättyvät alareunaan, koko laatoituksen on näytettävä tältä (”täysin täytetty kuutio”):

Osoitamme, että kaikki muut laatat voidaan muuttaa” täysin täytetyiksi kuutioiksi ”muuttamatta ruutujen määrää kussakin suunnassa.

Valitse ensin osa pystysuorasta viivasta, joka ei pääty alareunaan. Sen on lopputtava vaakasuoraan ruutuun, koska molemmilla kahdella laatalla on pystysuorat sivut. Toivottavasti tilanne näyttää tältä (”kulma”):

Mutta ehkä on olemassa yksi tai kaksi ylimääräistä riviä samassa paikassa, näin:

Jos näin on, noudata yhtä niistä. Sen on kuuluttava toiseen nykyisen vierekkäin olevaan vaakatasoon. (Näet tämän kuvasta.) Viivan seuraamisen jälkeen olet taas samassa tilanteessa, mutta lähempänä kuusikulmion yhtä sivua (mikä takaa päättymisen, koska suuntaan, jossa olet, on ehdottomasti pystysuora viiva) juuri tullut). Jatka samaan suuntaan, kunnes saavut ”kulmaan”.

Nyt kun olet saavuttanut ”kulman”, ”täytä se”:

On selvää, että ruutujen määrä kussakin suunnassa on pysynyt samana. Pystysuoran viivan fragmentti on kuitenkin juuri siirtynyt alaspäin.

Toista tätä algoritmia, kunnes kaikki pystyviivat päättyvät alareunaan ja kaikki aukot on poistettu, jolloin tuloksena on ”täysin täytetty kuutio” (katso yllä).

Kommentit

• Hienoa! Se osoittaa myös, että mikä tahansa laatoitus voidaan muuntaa muuksi ” kulmatäytteiden ” tai pienten kuusikulmion kiertojen
• Kyllä, ja tavallaan se todistaa, että 3D-tulkinta toimii aina. Mutta uskon, että tämä voidaan todistaa paljon suoremmin, kuten kohdassa ” ota kaikki laatat ja rakennetaan vastaava 3D-rakenne seuraavasti … ”
• hyvä 🙂 periaatteessa 3D-kierto. Tein toisen. Oletko koskaan tavannut palapelin?

Mielenkiintoista on, että tarkastelemalla kuvaa 3D-kaaviona voit nähdä, että jokaisella ”kasvolla” on sama määrä ruutuja. Joten jos katsot sitä vasemmalta, näet 25 ruutua. Yläosa, 25 neliötä. Oikea, 25 neliötä. Ja jokainen kolmesta suunnasta vastaa yhtä kasvoista.

Kommentit

• Minusta tämä väite on vakuuttava, mutta vain kyseiselle laatoitukselle. Kuinka voit olla varma, että optinen harha tapahtuu jokaisessa mahdollisessa laatoituksessa?
• Tämä vastaus näyttää olevan tapa visualisoida vastaus … se ei osoita mitään. On kuitenkin mahdollista todistaa se tällä tavalla.
• Olen täysin samaa mieltä. Olen ” tiedä ” vastaus, mutta sen selittäminen on yli perjantaina.

Vielä yksi; tämä on kolmiopohjainen ja saattaa olla pikemminkin tavallinen todiste.

Jaa koko kuusikulmio kolmioiksi ja anna numeroille tämäntyyppiset (tai vastaavasti) pystysuorat viivat:

Nyt mihin tahansa kolmiopohjaiseen muotoon (whi ch: n ei välttämättä tarvitse olla laatoitus) määrittele ”asteensa” luvuksi, joka saadaan lisäämällä kaikki vasemmalle rajalle osoitetut numerot ja vähentämällä kaikki sen oikealle rajalle osoitetut numerot. Esimerkiksi muodon

”aste” on $ (1-2) – (2 + 2-1-2) = – 2 $.

Rakenna nyt laatoitus pala palalta ja ota huomioon muodon ”aste”. Vaakasuoran ruudun lisääminen ei muuta astetta, toisen lisääminen lisää tai vähentää sitä 1: llä:

Koska koko kuusikulmion aste on 0, kahden näytetyn ruudun lukumäärän on oltava sama. Toista symmetrisesti toiseen suuntaan.

Kommentit

• Voit jakaa kuusikulmion mihin tahansa määrään muotoja, jolloin näiden muotojen asteiden summa on 0.Teknisesti tämä ei vastaa, koska joudut vielä todistamaan, että pystyt rakentamaan laatoituksen (esimerkiksi suulakepuristamalla, vain todistit, että jos laatoitus on olemassa, sen on oltava aste 0) .Tämä vastaus tarjoaa kuitenkin varmasti puuttuvan osan todisteeseen +1
• Kun ymmärrän kysymyksen, ei tarvitse todistaa, että laatoitus on aina olemassa. Mutta se tietysti tekee. 🙂 (Katso ensimmäinen vastaukseni.)
• ja nähdäksesi, että voit rakentaa kaikki mahdolliset laatat, tarvitsen vastaukseni 🙂
• Voi, nyt ymmärrän mitä sanot. ” build ” -merkinnällä tarkoitan jotain erilaista: Aloita yhdestä ruudusta; se on ensimmäinen muotosi. Lisää sitten yksi ruutu toisensa jälkeen, kunnes pääset alkuun saamallesi laatalle.
• Ei, minun on aloitettava kelvollisesta tilasta (sinun täytyy vain antaa yksi, että ’ s triviaali) ja tee sitten jonkinlainen muutos, joka jättää sinut toiseen kelvolliseen tilaan. Rakenna, kuten sanot, on vaikeampaa, koska tarvitset jonkinlaista ” -valintaa ” joka on mahdollista, mutta vaatii hakua, kun olen postissani En käytä ’ en käytä mitään hakua, vain ennalta vahvistetut ” siirtymät ”, jotka tekevät päättely on erittäin helppoa.

Tarkastellaan kolmion ruudukkoa sarakkeittain.

Jokaisella vasemman puoliskon sarakkeella on yksi enemmän vasemmalle osoittavaa kolmiota kuin oikealle osoittavia kolmioita. Oikeassa puoliskossa on liikaa yhtä oikealle osoittavaa kolmiota.

Diagonaaliset pastillit edistävät tarkalleen yhtä vasemmalle osoittavaa ja yhtä oikealle osoittavaa kolmiota sarakkeessa. Ohitetaan nämä. Sinulle jää vasemmalle kolmiot, jotka ovat osa vaakasuoraa pastillia. Vaakasuora imeskelytabletti koostuu vasemmalle osoittavasta kolmiosta yhdessä sarakkeessa (punainen) ja vastaavasta oikealle osoittavasta kolmiosta oikeanpuoleisessa sarakkeessa (vihreä).

Ohittamamme kolmiot koostuvat vasemmalle osoittavien ja oikealle osoittavien kolmiopareista yhdessä sarakkeessa. Joten jokaisessa sarakkeessa on edelleen oltava ylimäärä yhdellä punaisella kolmiolla vasemmassa puoliskossa ja yhden vihreän kolmion ylitys oikeassa puoliskossa.

Ensimmäisessä sarakkeessa on oltava yksi punainen kolmio, koska siellä on yksi ylitys ja vihreää kolmiota ei voi olla. Kyseinen kolmio vastaa vihreää kolmiota 2. sarakkeessa. Sarakkeessa 2 on 1 vihreä kolmio, joten punaisen kolmion on oltava vielä yksi. Tämä on 2. Näillä kahdella punaisella kolmiolla on vastaavat vihreät kolmiot kolmannessa sarakkeessa jne.

Kuten näette, jokaisessa seuraavassa sarakkeessa on vielä yksi punainen kolmio keskilinjaan asti. Viimeisessä sarakkeessa ennen keskiriviä on 5 punaista kolmiota. Keskiviivan oikealla puolella on 5 vastaavaa vihreää kolmiota. Mutta silti meillä on nyt ylimääräinen 1 vihreä kolmio, punaisten kolmioiden määrä pienenee 4. Siitä lähtien määrä vähenee jokaisen sarakkeen kanssa. Tuloksena on, että riippumatta siitä, miten imeskelytabletit sijoitetaan, sarakkeissa lasketut punaiset kolmiot muodostavat sekvenssin 1,2,3,4,5,4,3,2,1,0, mikä on 25.

Tämä tarkoittaa, että punaisia kolmioita on aina 25. Ja nämä ovat puolikkaita horisontaalisista imeskelytableteista, joten vaakasuoria imeskelytabletteja tulee olemaan 25.

Sama pätee pyörimissymetrialla vasen- ja oikeanpuoleisiin diagonaaleihin. Tämä tarkoittaa, että riippumatta siitä, miten ne sijoitetaan, on aina 25 kutakin imeskelytablettia.

QED

Alkaen kolmiomainen laatoitus ”kuutiorajalla”, voimme nähdä, että:

• $ 0 ^ \ circ, 120 ^ \ circ, 240 ^ \ circ $

• kukin rhombi kattaa täsmälleen yhden tyyppisen viivasegmentin

Kommentit

• Ei ’ t, joka vain toistaa leoll2: n sanomaa, että kun ” suulakepuristamalla lattian osia ” että ” alue, jolla voit kävellä, ei ole ’ t muuta ”.
• Tämä ’ on oikeastaan paljon parempi todiste kuin vastaukseni. ’ on mielenkiintoista, että ohitat vain kaikki näkyvät rivit ja keskityt sen sijaan näkymättömiin.

Jos määritämme $ S $: n kuusikulmion sivupituudeksi (timanttisivujen pituuksien lukumääränä) ja $ A $, $ B $, $ C $ – on niiden timanttien lukumäärä, joissa $ A $ on pidempi kuin pitkä, $ B $ osoittaa oikeassa alakulmassa / vasemmassa yläkulmassa ja $ C $ pistettä vasemmassa alakulmassa / oikeassa yläkulmassa.

timanttien kokonaismäärä (aka ala) antaa meille tämän yhtälön:

$$ S ^ 2 * 3 = A + B + C $$

Kuvittele $ S = 1 $ kuusikulmio … On vain 2 samanlaista liuosta, jota kierretään 30 astetta. Kaikkien kolmen timantin on oltava läsnä keskiosan järjestyksessä 360 asteen verran.

Voimme kuvitella, että on 3 polkua, jotka kulkevat ylhäältä alas, oikeasta yläkulmasta vasemmalle, ja vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan. Kaikkien seuraamiesi polkujen (ylhäältä alas) kokonaisliikkeen on oltava yhtä suuri kuin $ 2S $, mutta liikkeen vasemmalta oikealle on oltava nolla. Jos siirryt alaspäin $ A $ -timantilla, et liiku oikealle tai vasemmalle. Jos siirryt alaspäin $ B $ tai $ C $ timantilla, siirryt oikealle tai vasemmalle. Jotta kaikki polut eivät liiku vasemmalle tai oikealle, $ B $: n ja $ C $: n kokonaismäärän on oltava yhtä suuri. Jos käännät kuvaajaa 60 astetta siten, että eri kulmaparit osoittavat ylös / alas, voit näyttää tämän $ A $: lle ja $ B $: lle tai $ A $: lle ja $ C $: lle.

Kommentit

• Voitteko kertoa hieman tarkemmin, mistä nämä 3 polkua tulevat? Onko olemassa useita mahdollisia polkuja (ylhäältä alas) vai ainutlaatuisia, kun otetaan huomioon laatoitus? Ovatko nämä kuin sotilas, joka hyppää timantista viereiseen timanttiin, vai muurahainen, joka seuraa reunoja?
• Se on vektorilisäys …. se viittaa kaikkiin polkuihin, jotka etenevät kulmasta vastakkaiseen ilman takaosaa seuranta. Se on antureita seuraavia reunoja.
• Selventämiseksi ei ole olemassa polkua, joka ei seuraa B = C: tä, joten lisää ne kaikki yhteen ja B = C

Et ole varma, onko tämä täydellinen vastaus, mutta väsyn.

Olkoon n = kolmiomäärä sivulle. Ota timantit koskettamalla EDIT: n + 1 vierekkäistä reunayksikköä (vain yhdessä pisteessä ei t lasketa): Ainakin yhden timantin on oltava erilainen muilta. Anna kaikkien muutosten tapahtua kulmissa, muutos joka toisessa kulmassa.Olemme tehneet silmukan, joka voi sisältää kuusikulmion, jonka sivupituus on n-1, ja kunkin tyyppisten timanttien määrä on sama. Induktio alaspäin n = 1, missä se on ilmeisesti yhtä suuri.

Anna nyt kuusikulmion ulkosilmukan poiketa ”muutoksista vain kulmissa” -käytännöstämme. Väritä kaikki ulkoreunan viereiset timantit tietyllä värillä (esimerkiksi mustalla) ja jätä kaikki silmukat ulos tästä silmukasta valkoiseksi. Nyt voimme nähdä rikkoutuneen silmukan, joka ympäröi toista (varmasti rikkoutunutta) silmukkaa n-1. Väritä tämä sisäsilmukka toisella värillä, jolloin kaikki kapinalliset taas jäävät valkoisiksi. Tee tämä n = 1-kuusikulmioon asti, ja väritä kapinalliset suuntauksen mukaan.

Jos tarkastelet kaaviota, sisempi violetti kuusikulmio todella haluaa punaisen laatan alareunasta oranssin ja vaaleanpunaisen sijaan . Kuvittele, että tämä on mosaiikki. Kopioi punainen laatta ja oranssit ja vaaleanpunaiset kapinalliset keskelle ja laita punainen laatta sinne. Violetti kuusikulmainen on nyt onnellinen. Tee nyt vihreästä kuusikulmiosta onnellinen (muutos vain jokaisessa toisessa kulmassa) – Pohjan sivutimantti haluaa olla kaksi vinoa timanttia, jotka sopivat purppuran kuusikulmion ympärille – lisää oranssit ja vaaleanpunaiset laatat sivulle asettamalla vihreä laatta missä ryöstimme punaisen laatan aikaisemmasta. Mielestäni on selvää, että tätä prosessia voidaan jatkaa, kunnes saavutamme ”optimaalisen kuusikulmion”. Aivoni ovat kuitenkin liian paistettuja todistamaan tämän lopullisesti.

EDIT: Uskon, että nämä kaksi asiaa pitävät paikkansa: 1. Jos otamme ei-optimaalisen kuusikulmion, jokainen samankeskinen silmukka on onneton 2. 2. Onneton silmukan kiinnittäminen lisää välttämättä laatat poistettujen mosaiikkilaattojen ”käteen”. 3. Korjaa sisin kuusikulmainen ryöstämällä sopiva kapinallinen.

Nämä kaksi asiaa mielessä on mahdotonta, että haluamme korjata heksan, mutta meillä ei ole poistettujen laattojen ”kädessä” laatat, olettaen, että sellainen, jota n = 1 silmukka tarvitsee.

Pitkät todistukset eivät ole tarpeen. Ajattele 3D: tä.

Kuvittele, että jotkut kuutiot on kiinnitetty huoneen kulmaan. Kolme suuntaa ovat kasvot, jotka näemme, koska jokaisella puolella on oltava sama määrä kasvoja.

Kommentit

• on olemassa todiste myös numeroinnista. Laita kaksi 0: ta kulmaan ja rakenna luku siten, että 3 suuntaa ovat aina -1,0 ja 1. Lisäämällä rivit riviltä kokonaissumma on 0. Siksi X (1) + Y (0) + Z (-1) = 0, mikä tarkoittaa X = Z. Kierrä nyt numerointia 120dress. Samankaltaisella argumentilla X = Y Tämä täydentää todistusta
• Valitettavasti tämä on olennaisesti sama kuin leoll2: n jo antama vastaus, joka todistettiin Sebastian Reicheltin vastauksessa. Kommentissasi mainitsemasi todisteet lähetettiin jo Sebastian Reicheltin toiseen vastaukseen.

Järjestyksessä Tämän periaatteen todistamiseksi Pascal-ohjelmoinnilla erilaisten timanttiasettelujen luomiseksi eri väreillä huomaat, että tästä 2D-päällystysongelmasta on tullut 3D-mallin luomisongelma, ja nämä mallit ovat hyvin samankaltaisia kuin kaupunkisuunnittelu tai arkkitehtuuri. Kokeellinen laskelma tornin ja palkintokorokkeen asettelusta. Toinen piirre on, että muodostetulla kolmiulotteisella mallilla ei ole suurta ylä- ja pientä alaosaa, ja että se on vakaa suorakulmainen suuntaissärmiöinen asettelu. ” Päivitetään ” kaksiulotteisesta ongelmasta kolmiulotteiseksi asetteluksi. ional

kommentit

• Kuinka tämä todistaa kysymyksessä olevan väitteen?