Maallikon ' selitys ja ymmärrys Einsteinin ' s kenttäyhtälöistä

Einsteinin yhtälöt voidaan löyhästi tiivistää aineen ja aika-ajan geometrian pääsuhteeksi . Yritän antaa laadullisen kuvauksen siitä, mitä jokainen yhtälön termi merkitsee. Minun on kuitenkin varoitettava potentiaalisia lukijoita siitä, että tämä ei ole lyhyt vastaus. Lisäksi aion älä yritä johtaa yhtälöitä ” elementaarisella ” tavalla, koska en todellakaan tiedä niistä mitään.

Aine

Equan oikealla puolella Tärkeintä on energiamomentti-tensorin $ T _ {\ mu \ nu} $ ulkonäkö . Se koodaa tarkalleen, kuinka aine — ymmärretään laajassa merkityksessä, ts. Mikä tahansa väliaine kuljettava energia (tai massa, liikemäärä tai paine) jakautuu maailmankaikkeuteen. Jos haluat ymmärtää $ T $ alaindeksien tulkinnan, katso alla oleva metrisen tensorin selitys.

Se kerrotaan joillakin perusasetuksilla luonnon vakiot $ \ Big ($ tekijä $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ mutta tällä ei ole mitään olennaista merkitystä: Niitä voidaan pitää kirjanpitotyökaluina, jotka pitävät kirjaa yhtälön yhteydessä olevien määrien yksiköistä. Itse asiassa ammattifyysikot käyttävät yleensä vapautta määritellä mittayksikkömme uudelleen lausekkeiden ilmeen yksinkertaistamiseksi poistamalla tämänkaltaiset ärsyttävät vakiot. Yksi erityinen vaihtoehto olisi valita ” pienennetyt Planckin yksiköt ”, jossa $ 8 \ pi G = 1 $ ja $ c = 1 $ , niin että kertoimesta tulee $ 1 $ .

differentiaali g eometria

Einsteinin yhtälöiden vasemmalta puolelta löytyy muutama erilainen termi, jotka yhdessä kuvaavat aika-ajan geometriaa. Yleinen suhteellisuusteoria on teoria, joka käyttää matemaattista kehystä, joka tunnetaan nimellä (puoliksi) Riemannin geometria . Tässä matematiikan haarassa tutkitaan tiloja, jotka ovat tietyssä mielessä sileät ja jotka on varustettu -metrikalla . Yritetään ensin ymmärtää, mitä nämä kaksi asiaa tarkoittavat.

Sileysominaisuus voidaan havainnollistaa intuitiivisella (ja historiallisesti tärkeällä!) Esimerkillä sileästä (kaksiulotteisesta) pinnasta tavallisessa kolmiulotteisessa tilassa . Kuvittele esimerkiksi idealisoidun jalkapallon pinta, ts. 2-pallo. Jos nyt keskitytään huomiota hyvin pieneen pintaan (pidä palloa omilla kasvoillesi), näyttää siltä, että pallo on melko tasainen. Se ei tietenkään ole globaalisti tasainen. Ilman matemaattista tarkkuutta voimme sanoa, että tilat, joilla on tämä ominaisuus näyttää paikallisesti tasaiselta, ovat jossakin mielessä sileitä . Matemaattisesti kutsutaan niitä jakoiksi. Tietysti maailmanlaajuisesti tasainen pinta, kuten ääretön paperiarkki, on yksinkertaisin esimerkki tällaisesta tilasta.

Riemannin geometriassa (ja differentiaaligeometriassa yleisemmin) tutkitaan tällaisia mielivaltaisen ulottuvuuden sileitä tiloja (jakoputkia). Yksi tärkeä asia on ymmärtää, että heitä voidaan tutkia ilman kuvitellen, että ne upotettaisiin korkeampiulotteiseen tilaan, ts. Ilman visualisointia, jota pystyimme käyttämään jalkapallon kanssa, tai muita viitteitä voi olla tai olla ” ” itse avaruuden ulkopuolella.Yksi sanoo, että voidaan tutkia niitä ja niiden geometriaa sisäisesti .

Metriikka

Kun on kyse jakoputkien geometrian sisäisestä tutkimisesta, tutkimuksen kohde on metriikka (tensori). Fyysikot merkitsevät sitä tyypillisesti $ g _ {\ mu \ nu} $ . Jossain mielessä se antaa meille käsityksen etäisyydestä jakotukista. Tarkastellaan kaksiulotteista jakoputkistoa metrisesti ja laitetaan siihen ” -koordinaattiruudukko ”, ts. Määritetään jokaiselle pisteelle kahden joukko numerot, $ (x, y) $ . Sitten mittaria voidaan tarkastella $ 2 \ kertaa 2 $ -matriisina, jossa on $ 2 ^ 2 = 4 $ merkinnät. Nämä merkinnät on merkitty tilauksilla $ \ mu, \ nu $ , jotka kukin voidaan valita yhtä suuriksi $ x $ tai $ y $ . Mittari voidaan tällöin ymmärtää yksinkertaisesti numeroina:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Meidän tulisi myös sanotaan, että muuttuja on määritelty siten, että $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , ts. se on symmetrinen sen indekseihin nähden. Tämä tarkoittaa, että esimerkissämme $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Harkitse nyt kahta lähellä olevaa pistettä siten, että näiden kahden koordinaattien ero on $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Voimme merkitä tämän lyhenteen merkinnällä nimellä $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ missä $ \ mu $ on joko $ x $ tai $ y \;, $ ja $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ ja $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Sitten määritellään kahden pisteen välisen etäisyyden neliö, nimeltään $ \ mathrm {d} s \;, $ kuten

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ summa _ {\ mu, \ nu \ sisään \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Saadaksesi käsityksen siitä, miten tämä käytännössä toimii, tarkastellaan loputonta kahta dimensioinen tasainen tila (ts edellä mainittu paperiarkki), jossa on kaksi ” vakio ” -tasokoordinaattia $ x, y $ määritelty siinä neliön ruudukolla. Sitten tiedämme kaikki Pythagoras-lauseesta, että

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ summa _ {\ mu, \ nu \ sisään \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Tämä osoittaa, että tässä tapauksessa litteän kaksiulotteisen tilan luonnollinen metrinen arvo saadaan laskemalla

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ aloita {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Nyt kun tiedämme kuinka ” mitata ” etäisyydet lähellä olevien pisteiden välillä , voimme käyttää tyypillistä tekniikkaa perusfysiikasta ja integroida pienet segmentit saadaksesi etäisyyden edelleen poistettavien pisteiden välillä:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Ge neralisointi suurempiin ulottuvuuksiin on suoraviivaista.

Kaarevuusjännitteet

Kuten yritin väittää yllä, metrinen tensori määrittelee jakotukkimme geometrian (tai avaruusajan fyysisessä tapauksessa). . Erityisesti meidän pitäisi pystyä poimimaan kaikki tarvittavat tiedot jakotukin kaarevuudesta siitä. Tämä tapahtuu rakentamalla Riemannin (kaarevuus) tensori $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , joka on hyvin monimutkainen objekti, jota voidaan analogisesti metriikan matriisivisualisoinnin kanssa pitää neljän ulottuvuuden matriisina, jolloin kukin indeksi voi ottaa $ N $ -arvot, jos $ N $ -koordinaatit $ \ { x ^ 1, \ pisteitä x ^ N \} $ jakotukissa (ts. jos käsittelemme $ N $ -dimensionaalista tilaa). Se on määritelty puhtaasti metriikan suhteen monimutkaisella tavalla, mikä ei ole tällä hetkellä aivan liian tärkeää.Tämä tensori sisältää melkein kaikki tiedot jakotukin kaarevuudesta – ja paljon enemmän kuin me fyysikot yleensä kiinnostamme. Joskus on kuitenkin hyödyllistä tarkastella Riemannin tensoria tarkasti, jos todella haluaa tietää mitä tapahtuu.Esimerkiksi kaikkialla katoava Riemannin tensori ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) takaa että aika-aika on tasainen. Yksi kuuluisa tapaus, jossa tällainen asia on hyödyllinen, on Schwarzschild-metrikassa , joka kuvaa mustaa aukkoa, joka näyttää olevan yksikkö Schwarzschildin säteellä $ r = r_s \ neq 0 $ . Riemannin tensorin tarkastuksen jälkeen käy ilmi, että kaarevuus on tässä asiassa äärellinen, joten kyseessä on koordinaatti singulariteetti eikä ” todellinen ” painovoimainen singulaarisuus.

Ottamalla tietyt ” osat ” Riemannin tensori, voimme hylätä osan sen sisältämistä tiedoista vastineeksi siitä, että meidän on käsiteltävä vain yksinkertaisempaa kohdetta, Ricci-tensoria:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ summa _ {\ mu \ sisällä \ {x ^ 1, \ pistettä x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Tämä on yksi tensoreista, joka esiintyy Einstein-kenttäyhtälöissä. yhtälöiden toinen termi sisältää Ricci scalar $ R $ , jonka määrittelee jälleen sopimus ( hienostunut sana ”, joka laskee yhteen joidenkin indeksien kaikki mahdolliset indeksiarvot ”) Ricci-tensorin, tällä kertaa käänteisellä metriikka $ g ^ {\ mu \ nu} $ , joka voidaan muodostaa tavallisesta metrikasta yhtälön avulla

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ teksti {if} \ mu = \ rho \ \ text {ja} 0 \ \ text {muuten} $$

Kuten luvattiin, Ricci-skalaari on Ricci-tensorin ja käänteisen supistuminen metriikka:

$$ R: = \ summa _ {\ mu, \ nu \ sisään \ {x ^ 1, \ pisteitä x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Tietysti Ricci-skalaari sisältää jälleen vähemmän tietoa kuin Ricci-tensori, mutta sitä on vielä helpompi käsitellä Kerro se yksinkertaisesti $: lla g _ {\ mu \ nu} $ tuottaa jälleen kaksiulotteisen taulukon, kuten $ R _ {\ mu \ nu} $ ja $ T _ {\ mu \ nu} $ ovat. Einstein-kenttäyhtälöissä esiintyvä erityinen kaarevuussensorien yhdistelmä tunnetaan nimellä Einstein-tensori

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

kosmologinen vakio

Tähän mennessä on jätetty pois yksi termi: kosmologinen vakiotermi $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Kuten nimestä voi päätellä, $ \ Lambda $ on yksinkertaisesti vakio, joka kertoo mittarin. Tämä termi laitetaan joskus yhtälön toiselle puolelle, koska $ \ Lambda $ voidaan nähdä jonkinlaisena ” maailmankaikkeuden energiasisältö ”, joka voidaan ryhmitellä sopivammin muun aineen kanssa, jonka kodifioi $ T _ {\ mu \ nu} $ .

Kosmologinen vakio kiinnostaa pääasiassa, koska se tarjoaa mahdollisen selityksen kuuluisalle pimeälle energialle , joka näyttää selittävän tiettyjä tärkeitä kosmologisia havaintoja. Onko kosmologinen vakio todellakin nollasta poikkeava universumissamme, on avoin kysymys, samoin kuin sille ehdotettujen arvohavaintojen selittäminen (ns. kosmologinen vakion ongelma aka ” teoreettisen fysiikan kaikkien aikojen huonoin ennuste ”, yksi henkilökohtaisista kiinnostuksen kohteistani).

---

PS. Kuten kommenteissa todettiin, jos pidit tästä, voit myös lukea tätä kysymystä ja vastauksia siihen, jotka osoittavat kyseiselle muulle tärkeä yleisen suhteellisuustason yhtälö, joka kuvaa ” -testihiukkasten ” liikettä kaarevissa väliajoissa.

Einsteinin yhtälö liittää aineen sisällön (yhtälön oikea puoli) geometriaan (vasen puoli) Se voidaan tiivistää lauseella ”massa luo geometrian ja geometria toimii massa”.

Tarkastellaan tarkemmin, mikä on tensori. Kahden indeksin tensorin (joka meillä on Einsteinin yhtälössä) voidaan ajatella karttana, joka vie yhden vektorin toiseen vektoriin. Esimerkiksi jännitysenergia-tensori ottaa sijaintivektorin ja palauttaa momenttivektorin (matemaattisesti, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, ja sekoitan vektoreita ja apuvektoreita kaikkialle keskustelun yksinkertaistamiseksi). Tulkinta on, että Einsteinin yhtälön oikea puoli kertoo meille momentin, joka kulkee sijaintivektorin määrittelemän pinnan läpi.

Vasen puoli voidaan tulkita myös tällä tavalla. Riccin kaarevuus $ R _ {\ mu \ nu} $ ottaa sijaintivektorin ja palauttaa vektorin, joka kertoo kuinka paljon kaarevuus muuttuu $ \ vec {x} $: n määrittämän pinnan läpi. Toinen ja kolmas termi, joilla molemmilla on metriikan $ g _ {\ mu \ nu} $ tekijät, kertovat meille, kuinka paljon etäisyyden mittauksia muutetaan vektoria pitkin. Tähän etäisyyden muutokseen on kaksi vaikutusta – skalaarinen kaarevuus $ R $ ja $ \ Lambda $. Jos $ R _ {\ mu \ nu} $ on ”kaarevuus yhteen suuntaan”, kuin $ R $ on ”kokonaiskaarevuus”. $ \ Lambda $ on vakio, joka kertoo meille, kuinka paljon tyhjää tilaa on synnynnäistä energiaa, jolloin kaikki etäisyydet kasvavat $ \ Lambda > 0 $.

Joten Lukemalla yhtälön oikealta vasemmalle, ”Einsteinin” yhtälö kertoo meille, että liikemäärä (liikkuva massa) aiheuttaa sekä kaarevuuden että muutoksen etäisyyksien mittaamisessa. ”Lukemalla vasemmalta oikealle” Einsteinin yhtälö kertoo meille, että kaarevuus ja muuttuminen etäisyys toimii aivan kuin liikkuva massa. ”

Kommentit

• Vau – hieno yksinkertaistettu selitys.
• @levitopher Miksi se ’ kutsutaan ” stressiksi ” stressienergiassa?
• Se oli tämä OK: fi.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Einstein-kentän yhtälöiden (EFE) johtaminen vaihe vaiheelta blogissani: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

EFE: n merkitys (kirjoittanut Wheeler): ”Aika-aika kertoo aineelle kuinka liikkua, aine-energia kertoo avaruus-ajalle kuinka käyristää”

Yksinkertaiset sanat EFE: lle: ”Geometry” = ”Kaarevuus” (ei vääntöä yleisessä suhteellisuusteollisuudessa tarkoita, että energiamomentti on symmetrinen, koska se näyttää olevan metrinen, Ricci-tensori ja Einstein-tensori).

Vakavampi merkitys on seuraava:

-Vasenkätinen puoli: Einstein-tensori on tehty kahdesta (kolmesta, jos kosmologinen termi lasketaan) kappaleesta. Ne mittaavat kaarevuuden, jonka paikallisen avaruusajan metriikka ei ole vakio (Minkowskin metri on tasainen aika-aika, painovoima kytkettynä tarkoittaa, että metriikka on kenttä, ts. Riippuvainen paikallisesta aika-aika-koordinaatista), ja se viittaa paikalliseen kaarevuuteen mitattuna kaarevuusskalaarilla ja Ricci-tensorilla, jotka yhdistyvät tavalla, jolla Einstein (ja Hilbert) tekivät, saadaan erottamaton virta (ts. energiamomentin säilyttäminen tasaamalla oikealle puolelle).

-Oikeakätinen puoli: kenttien energia-impulssi, jolloin aika-aika vääntyy / käyrä / taivutus. Voit lisätä tälle puolelle kosmologisen termin, jonka jälkeen se on nimetty pimeäksi energiaksi … Se tuottaa, että pimeä energia on jotenkin (jonkin verran huolellisesti) tyhjötila-ajan energia. Mielestämme se ei ole vain nollasta poikkeava, vaan tärkein kosminen ainesosa, joka tekee aine-energiasta tällä hetkellä (noin 70%, WMAP + PLANCK-satelliitit näyttävät olevan samaa mieltä tämän kanssa …).