Mikä fyysinen merkitys Heisenberg-ryhmällä on?

Saatat nähdä:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf luku 13,

ts. luennot ”Kvanttimekaniikka matemaatikoille: Heisenberg-ryhmä ja Peter Woitin esittämä Schrodingerin esitys ”, jossa Heisenberg-ryhmän merkityksestä keskustellaan yksityiskohtaisesti. Mutta sen fyysinen merkitys EI ole fyysisen tilanteen symmetrioiden ryhmä. Ole siis varovainen kanonisen kommutointisuhteen ja äärellisen ( sano $ n $ ) ulotteinen Hiesenberg Lie -ryhmä $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Suhteen RHS: ssä oleva asia $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ äärellisessä ulotteisessa algebrassa $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ EI OLE identiteettimatriisia – se on yksinkertaisesti jotain, joka kulkee kaiken muun kanssa Lie-algebrassa. Hermann Weyl huomautti, että kanoninen kommutointisuhde ei voi viitata äärelliseen ulotteiseen Lie-algebraan: sellaisissa algebroissa Lie-sulu $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (neliömatriisien välissä) on nolla jälkeä, mutta identiteettimatriisilla (tai skalaarikerroksella, kuten CCR: n RHS: llä) ei. Yksi on siirrettävä operaattoreille äärettömissä ulotteisissa Hilbert-tiloissa ( $ esim. $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) löytääksesi kanonisen kommutointisuhteen täydellisen toteutumisen.

Toinen tapa ymmärtää, että äärellisen ulotteisen matriisin Heisenberg Lie -algebran käyttäytyminen eroaa radikaalisti CCR: stä, on itse epävarmuusperiaate. Tulos RMS-epävarmuustekijöistä simultaanimittauksissa kahdesta liikkumattomasta havainnoitavasta alueesta $ \ hat {a}, \ hat {b} $ , kun kvanttitila $ \ psi $ on alhaalta rajattu positiivisella reaaliluvulla $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ mistä $ \ vasen [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (katso Merzbacherin ”Kvanttimekaniikka” -numeron 3 osan 10.5). Jos $ c $ on äärellinen neliömatriisi, ja kuten Heisenbergin algebrassa, se ei ole täyden rivin listalla, on tiettyjä tiloja ( $ c $ ”s tyhjätila), jossa epävarmuustuote voidaan jättää väliin. Äärellinen ulottuvuusmatriisialgebra ei voi” mallintaa Heisenbergin ”fyysistä postulaattia.

Katso myös Wikipedia-artikkeli Heisenberg-ryhmästä.

Kommentit

• Pieni kommentti vastaukseen (v2): Merkki näytetyssä Schroedinger-esityksessä $ p $ ei ole tavanomainen merkki.