Mikä on AMDF?

En ole koskaan nähnyt sanaa ”Formula” sanalla ”AMDF”. Ymmärrän AMDF: n määritelmän

$$ Q_x [k, n_0] \ triangleq \ frac {1} {N} \ summa \ rajoitukset_ {n = 0} ^ {N-1} \ Iso | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ iso | $$

$ n_0 $ on kiinnostava alue alueella $ x [n] $ . Huomaa, että tiivistät vain ei-negatiiviset termit. Joten $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . Kutsumme ” $ k $ ” ”lag” : ksi selvästi, jos $ k = 0 $ , sitten $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . Jos myös $ x [n] $ on jaksollinen jaksolla $ P $ (ja antakaa teeskennellä, että $ P $ on kokonaisluku), sitten $ Q_x [P, n_0] = 0 $ ja $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ mille tahansa kokonaisluvulle $ m $ .

Nyt jopa jos $ x [n] $ ei ole tarkalleen jaksollinen tai jos jakso ei ole tarkalleen kokonaislukumäärä näytteitä (käytetyllä tietyllä näytteenottotaajuudella), odottaa $ Q_x [k, n_0] \ noin 0 $ mille tahansa viiveelle $ k $ , joka on lähellä pisteeseen tai jakson mihin tahansa kokonaislukukertaiseen. Itse asiassa, jos $ x [n] $ on melkein jaksollinen, mutta jakso ei ole kokonaislukumäärä näytteitä, odotamme pystyvän interpoloimaan $ Q_x [k, n_0] $ kokonaislukuarvojen välillä $ k $ , jotta saat vielä pienemmän minimiarvon.

Suosikkini ei ole AMDF, vaan ”ASDF” (arvaa mitä S tarkoittaa?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ summa \ rajoitukset_ {n = 0} ^ {N-1} \ iso (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ iso) ^ 2 $ $

Osoittautuu, että voit tehdä laskennan sillä, koska neliöfunktiossa on jatkuvia johdannaisia, mutta absoluuttisen arvon funktiossa ei ole.

Tässä on toinen syy, mistä pidän ASDF parempi kuin AMDF. Jos $ N $ on erittäin suuri ja pelaamme vähän nopeasti ja löysästi summan rajoilla:

$$ \ begin {tasaus} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n \ iso (x [n] – x [n + k] \ iso) ^ 2 \ oikea) \\ & = \ frac {1} {N} \ vasen (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ oikea) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ vasen (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ oikea) \\ \ end {tasaa} $$

missä

$$ \ begin {tasaa} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ yliviiva {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {tasaus} $$

tunnistetaan normaalisti $ x [n] $ ”autokorrelaatioksi”.

Joten odotamme, että autokorrelaatiofunktio on ASDF: n ylösalaisin (ja offsetilla) kopio. Autokorrelaation huiput ovat siellä, missä ASDF: llä (ja yleensä myös AMDF: llä) on minimi.