Mikä on Fermi-pinta ? Toivon, että tämä kysymys ei ole liian alkeellinen tälle foorumille, ja pyydän anteeksi, jos se on.

Sallikaa minun selittää sekaanni. Vakaana uskon, että minulla on jonkinlainen tunne Fermi-tasosta. Ymmärrän sen esimerkiksi ominaispiirteenä $ \ mu $ järjestelmän elektronien energiatasojen Fermi-Dirac-jakaumassa: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ , joka ei tällä hetkellä huomioi muita fyysisiä tulkintoja. Siten ainutlaatuisella energiatasolla on todennäköisyys 1/2 olla varattu.

Toisaalta Fermin pinnan määritelmä annetaan yleensä ”energiatilojen iso-pintana”. yhtä suuri kuin Fermin taso ”aaltovektorien $ k $ kolmiulotteisessa tilassa, esimerkiksi tässä Wikipedia-artikkelissa:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Toisin sanoen se määritellään $ k $ siten, että $$ E (k) = \ mu. $$ toistaiseksi niin hyvä. Ongelmana on, että en ymmärrä mitä $ E (k) $ on.

Yksi tilanne näyttää olevan suoraviivainen, nimittäin Fermi identtisten hiukkasten kaasu. Sitten $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ ja Fermin pinta on pallo. Jos kuitenkin olemme rajattomassa jaksollisessa potentiaalissa, tavallisessa Bloch-teorian idealisoidussa mallissa, sitten ratkaisut Schroedingerin yhtälöön ovat muodossa $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ , jossa $ u_ {kn} $ on jaksollinen funktio ja $ n $ on erillinen indeksi energiatasoille. Toisin sanoen jokaiselle aaltovektorille $ k $ ,

energiatasoja on monia $ E_n (k) $ .

Joten yhtälö Fermin pinta näyttäisi todella olevan $$ E_n (k) = \ mu. $$ kysymykseni, mikä energiataso on $ E (k) $ , joka esiintyy Fermin pinnan määritelmässä? Ehkä jokaiselle tasolle $ n $ löytyy yksi Fermi-pinta? (Olettaen, että tasot vaihtelevat jatkuvasti liikeratan suhteen, mikä antaa meille mahdollisuuden indeksoida tasot vaihtelevasti $ k $ .)

Jos voisin tarkennan hämmennystäni hieman enemmän, en ymmärrä määritelmää tässä vastauksessa tähän kysymykseen:

Mikä on Fermin pinta ja miksi tämä käsite on niin hyödyllinen metallitutkimuksessa?

Sanotaan, että

”Fermi-pinta on yksinkertaisesti pinta vauhtiavaruudessa, jossa nolla-vuorovaikutusten raja-arvossa kaikki fermionitilat (kristalli) liikemäärällä $ | k | < | k_F | $ on varattu, ja kaikki korkeamman liiketilan tilat ovat tyhjät. ”

Yksi asia, kuten edellä mainittiin, $ k $ -momentista on ääretön fermionitilojen sekvenssi. Toinen ongelma on, että en ole varma, että yllä oleva lause määrittelee ainutlaatuisen pinnan, vaikka pystyisin jotenkin valitsemaan fermionin tilan $ \ psi (k) $ jokaisesta $ k $ , johon lauseke viittaa. (Minun pitäisi piirtää kuva selittääksesi tämän asian, mihin minulla ei ole toimivaltaa.)

Kommentit

  • Fermit pinta määritetään absoluuttisen nollan lämpötilassa, joten otat perustilan ratkaisut $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • Ja kiinteässä muodossa tarkastelet tiloja ( Wigner-Seitz) yksikkö solu.
  • Sitruuna: Minusta se on myös melko hämmentävää. Joten lausuntosi olisi ’ Fermin pinta on joukko $ k $ sellainen, että $ E_0 (k) = \ mu $, ’ jossa $ E_0 (k) $ on pienin energia, jolla on vauhtia $ k $. Mutta sitten kiinteässä paikassa, jossa monet alemman energian kaistat ovat täynnä, Fermin tason yläpuolella olisi monia elektroneja. Tämä ei tunnu olevan sopusoinnussa tavallisen kuvan kanssa.
  • Jon Custer: Luulen, että ’ viittaa siihen, että kukin $ u_ {kn} $ määräytyy niiden arvojen perusteella solussa. Tämä ’ on totta. Mutta ei ole tiloja, jotka ovat vain kons suljettu soluun. ($ U_ {kn} $ ovat ajoittaisia.) En missään tapauksessa näe ’, kuinka tämä vastaa kysymykseen.Tapa, jolla ilmaisette sen, saat sen kuulostamaan ’ kullekin $ k $: lle, soluun on keskittynyt ainutlaatuinen $ \ psi_ {kn} $, ja sen energia on mitä käytämme Fermin pinnan määrittelyä. ’ Tämä ei ’ kuulosta oikein useista syistä.

Vastaa

Kaikki, mitä sanot, on oikein. Fermi-pinta määritellään joukoksi pisteitä $ k $ siten, että $ E_n (k) = \ mu $ mille tahansa bändille $ n $. Tyypillisesti kaistat ovat kuitenkin suhteellisen kaukana toisistaan eivätkä mene päällekkäin energian kanssa, kuten tämä:

kirjoita kuva kuvaus tässä

Kuten näemme, nauhat 1 ja 3 ovat kokonaan kemiallisen potentiaalin $ \ mu $ ylä- tai alapuolella, joten niillä ei ole merkitystä Fermin pinnan määrittämisessä ( itse asiassa alhaisissa lämpötiloissa kyseisillä kaistoilla ei ole melkein merkitystä minkä tahansa fyysisen ilmiön kannalta – vain kemiallisen potentiaalin lähellä olevat kaistat ovat fyysisesti tärkeitä. Siksi käytännössä voit päästä eroon vain harkitsemalla yksi tai kaksi nauhaa ja sivuuttamatta täysin kaikkia muita – ja kun siellä on Fermi-pinta (ts. kemiallinen potentiaali leikkaa vyöhykkeen / vyöhykkeet), yksi vyöhyke riittää melkein aina.

Monimutkaisemmissa / epätavallisemmissa järjestelmiä, sinun on kuitenkin seurattava useita bändejä. Esimerkiksi joskus bändit voivat koskettaa tai ylittää, ja hauskoja asioita voi tapahtua, jos virität kemiallisen potentiaalin tarkalleen cr ossing-piste. Vielä epätavallisemmin kaksi taajuusaluetta voi jakaa koko rajallisen valikoiman energiaa – esim. kaksi kosini-käyrää siirtyi pystysuunnassa pienellä määrällä. Mutta nämä tapaukset ovat hyvin harvinaisia – useimmissa jokapäiväisissä materiaaleissa $ \ mu $ istuu enintään yhdessä bändissä, eikä sinun tarvitse murehtia tästä. (Itse asiassa ammattilaiset fyysikot haluavat löytää / luoda epätavallisia materiaaleja, joissa kemiallinen potentiaali istuu aivan kaistan ylityksessä, juuri koska tällaiset järjestelmät eivät ole teoreettisesti hyvin ymmärrettäviä, joten opittavaa on enemmän.)

BTW, 1-D: ssä, kuten yllä oleva juoni, Fermin ”pinta” koostuu vain eristetyistä arvoista $ k $, mutta 2-D: ssä se on yleensä suljettu käyrä $ k_x $ – $ k_y $ -tasossa , ja kolmiulotteisissa kuvissa se on yleensä suljettu pinta, kuten pallo. Joskus Fermi-pinta voi koostua kahdesta (tai useammasta) pallosta, joista toinen on toisen sisällä ja täytetty ” Fermin meri ”relavanttisen bändin kohdalla on niiden välissä . Tätä ilmiötä kutsutaan” Fermi-pinnan pesinnäksi ”. Mutta jos opit vain Fermi-pinnoista, sinun ei tarvitse huolehtia näistä monimutkaisissa tilanteissa pitkään.

Kommentit

  • Kiitos selkeästä vastauksesta. Muuten, olen ’ kerännyt nyt, kun sanaa ’ band ’ käytetään kahdella eri tavalla kiinteän tilan fysiikassa. Tässä käyttämäsi sana viittaa vain energiatasoon. Mutta on myös käsite kaistasta olennaisesti jatkuvana energiatasojen jakautumana, joiden välillä on ’ aukkoja. ’ Luulen tämän oli suuri osa sekaanni. Korjaa minut, jos olen ’ väärässä asiassa.
  • @MinhyongKim A ” band ” määritellään yhdeksi käyräksi $ E_n (k) $ annetulle arvolle $ n $. (Mielestäni ’ on hieman harhaanjohtava kutsua sitä ” energiatasoksi ”, koska toiminto ei yleensä ole vakio, joten se vie arvot koko rajallisen energianvälin.) Ihmiset käyttävät toisinaan terminologiaa väärin ja käyttävät myös sanaa ” band ” viittaa energian aikaväliin, jonka yli funktio vaihtelee – eli romahtaa momenttiriippuvuuden. ’ olet oikeassa, että juuri tästä ihmiset ajattelevat puhuessaan ” bändin aukoista. ” Mutta ” -kaistan ” kaksi aistia ovat todella lähes identtiset …
  • .. Ainoa ero on, pidätkö kirjaa riippuvuudesta $ k $: sta vai otatko vain funktion ’ s alueen.
  • Kiitos lisäselvityksestä. Mutta minusta tuntuu hieman tärkeältä erottaa nämä kaksi aistia. Jos sanaa ’ band ’ käytettäisiin elektronisen taajuusrakenteen merkityksessä, yhtälöä $ E_n (k) = \ mu $ ei olisi ’ t määritelty hyvin myös kiinteälle arvolle $ n $. Tämä oli yksi hyvin sekavista asioista minun kaltaiselleni aloittelijalle. Joka tapauksessa kiitos vielä kerran!

Answer

Fermi-pinta on pinta vastavuoroisessa tilassa ( kaksoisosuus todellisesta avaruudesta, jossa asut) rajata fermioniset miehitetyt tilat fermionisista tyhjistä tiloista nollalämpötilassa.Joten se on vauhdikas ($ k $) rakentaminen pikemminkin kuin energiarakenne.

Logiikka on seuraava: yritä koota kaikki yhteen tietty määrä fermioneja. Koska he noudattavat Paulin poissulkemisperiaatetta, et voi pakata näitä fermioneja haluamallasi tavalla. Joka kerta, kun liiketilassa on tilaa valtiolle, vain yksi fermion voi miehittää tämän tyhjän huoneen. Joten sinun on aloitettava kasaamaan fermionit. Sillä on täydellinen analogia kirjahyllyn täyttämiseen kirjoilla: sinun on käytettävä seuraavaa riviä, kun edellinen on täynnä. Voit käyttää pienempiä välejä raaka-aineiden välillä, suurentaa kunkin raaka-aineen kokoa, …, jos sinulla on liian monta kirjaa, voit käyttää seuraavaa raakaa, mikä ei ole muuta kuin käyttää seuraavaa vauhtia haaraa dispersiosuhteessasi (mitä kutsut $ k_n (E) $). Kun laitat viimeisen fermionin fermioniseen kirjahyllyyn , vastaavaa momenttitilaa kutsutaan Fermi-impulssiksi, vastaavaa energiaa kutsutaan Fermi-energiaksi … ja iso- $ k $ pinta Fermi-momentilla kutsutaan Fermi-pinnaksi.

Muutama huomautus nyt

  • Ei koskaan ole loputonta haarojen määrää, jota käytetään äärellisen fermionien lukumäärä dispersiosuhteissa (materiaalin nauharakenne, jos haluat).

  • Ei ole ristiriitaa olettaen, että Fermin pinnalla on useita arkkia. Jopa Wikipediassa sinulla on jo esimerkki Fermin pinnasta, jossa on elektroni- ja reikätaskut

  • Fermi-pinnan käsite tulee (Fermi-Dirac) -tilastojen käsitteestä, kun sinulla on rajallinen määrä hiukkasia (muinaisessa terminologiassa se on toinen kvantisoitu ongelma), kun taas kaistarakenne on käytettävissä olevien tilojen täydellinen kirjo yhdelle hiukkanen (muinaisessa terminologiassa se on ensimmäinen kvantisoitu ongelma) jaksollisessa potentiaalissa. Helppo tapa siirtyä yhdestä toiseen on kemiallisen potentiaalin käyttö, joka vahvistaa hiukkasten määrän energiaa kohti (tarkemmin sanottuna energian määrä, joka tarvitaan hiukkasen lisäämiseksi termodynaamiseen järjestelmään).

  • Fermi-pinta on erityisen hyödyllinen käsite ymmärtää muutama kuljetusominaisuus (sähkö-, lämpö-, … kuljetus) materiaaleille, joilla on yksinkertainen nauharakenne, kuten puhtaat metallit ja seostetut puolijohteet. Kun Fermi-pinta muuttuu liian monimutkaiseksi, siitä on vaikea saada mitään intuitiota. Mielestäni tämä on kysymyksessä olevan käsitteen väärinkäsityksen ydin.

Kommentit

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *