Toistaiseksi luennossamme määriteltiin luontioperaattorit $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ seuraavalla tavalla, sanoimme:
Joku sai sinulle antisymmetrisen tai symmetrisen N-hiukkasen tilan ja nyt $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ asettaa toisen hiukkasen tilaan n, niin että lopetamme symmetrisen / antisymmetrisen N + 1-hiukkastilan kanssa. Tämä tulkinta on minulle jotenkin selkeä siinä mielessä, että nämä $ a ^ {\ dagger}, $ -operaattorit välttävät hankalia slater-determinantteja ja niin edelleen. Huolimatta siitä, että olemme tekemisissä edelleen hyvin määriteltyjen symmetrisillä / antisymmetrisillä tuotetiloilla, joita yksi tila laajentaa tai pienentää ja jotka ovat piilossa tämän merkinnän takana.
Nyt määritimme myös QM: ssä kenttäoperaattorit $ \ psi ^ {\ tikari} (r) = \ sum_ {i; \ teksti {kaikki tilat}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ tikari}. $ Sanoimme, että ne luovat hiukkasen sijaintiin $ r $ . Jotenkin minulle ei ole selvää, mitä tämä tarkoittaa:
Hiukkasen luominen tarkkaan sijaintiin $ r_0 $ QM: ssä tarkoittaisi, että meillä on nyt ylimääräinen tila $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ slater-determinantissamme. Epäilen, onko tämä ajatus tämän takana. Mutta koska $ a_i ^ {\ dagger} $ -operaattorit vaikuttavat $ N $ -hiukkastilaan ja kartoittavat $ N + 1 $ -hiukkastiloja, saman on oltava totta myös $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . Siitä huolimatta minulla on vaikeuksia tuloksen tulkinnassa.
Jos jokin on epäselvä, ilmoita siitä minulle.
Vastaa
Summan $ \ psi_i $ ei tarvitse olla delta-funktioita. Voit ajatella esimerkiksi, että ne ovat energian ominaisominaisuuksia $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$, mikä luo hiukkasen $ r $: lla tarkoittaa, että saat päällekkäisyyden kaikista mahdollisista tavoista hiukkanen voi olla $ r $ (tässä nimenomaisessa valintaperusteessa): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {kompleksiluvut}} | i \ rangle $$ missä $ | 0 \ rangle $ on tyhjiötila (tai perustila, jos haluat) ja $ | i \ rangle $ on Fock-tila yhdellä hiukkasella n: nnessä tilassa. Voit ajatella tämän yhtälön ilmoittavan jokaiselle $ i $: lle, $ \ psi_i ^ * (r) $ on todennäköisyys amplitudi löytää hiukkanen sijainnista $ r $, jos tiedät sen olevan tilassa $ i $.
Kommentit
- tulkinta siitä, kuinka luodaan päällekkäisyys kaikista mahdollisista tavoista, joilla hiukkanen voi päästä $ r $ -asemaan, näyttää mielestäni merkitykselliseltä. Tarkoitan, että mitä teemme, on, että ymmärrän sinut oikein, että luomme hiukkasen mihin tahansa ominaisvaltioon ja etsimme todennäköisyys amplitudia, että tämä hiukkanen on $ r $. En näe ', kuinka tämä käsite liittyy hiukkasen todelliseen luomiseen sijainnissa $ r $. Jos ajattelet sitä, niin nämä ovat kaksi erilaista asiaa. Voisitko yrittää selittää, mitä haluamme mallintaa tällä kenttäoperaattorilla?
- Se riippuu todella asiayhteydestä. " -hiukkasten " -tulkinta ei ole aina sopiva, yleisemmin voit ajatella näiden operaattoreiden muodostavan / tuhoavan kvanttitiloja. QFT: n yhteydessä nämä tilat ovat todellakin (yleensä) partikkelitiloja ja $ | 0 \ rangle $ -tilaa, jossa ei ole hiukkasia, ja siten terminologiaa. Mutta esimerkiksi NRQM: ssä tämä ei usein pidä paikkaansa, ja " tyhjötila " on tässä tapauksessa vain järjestelmän perustila . He " luovat " / " tuhoavat " -tilat siinä mielessä, että ne lähettävät tietyn Fock-tilan toiseen, jossa on yksi tai vähemmän sellainen erityinen tila.
Vastaa
Ajattele sitä perustan muutoksena. $ a_i ^ \ dagger $ luo hiukkasen tilaan $ | i \ rangle $. Nyt tämä tila $ | i \ rangle $ voidaan kirjoittaa sijaintitilojen $ | r \ rangle $ muodossa $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ siten hiukkasen luominen tässä tilassa vastaa hiukkasen luomista sijaintitilan päällekkäisyyteen sopivalla painolla $ \ psi_i (r) $. Vastaavasti $ | r \ rangle $: ssa lokalisoidun hiukkasen voidaan kuvata olevan osavaltiossa $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ ja luoden siten hiukkasen tilassa $ | r \ rangle $ operaattorin $ \ psi ^ \ dagger (r) $ määrittää operaattori $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Kommentit
- anteeksi, mutta tämä vastaus on erittäin hämmentävä. näyttää siltä, että summat yli positioiden. Huomaa, että asento ei ole erillinen! Siksi minulla on vaikeuksia ymmärtää $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: että ' s vain merkintöjä (ajattele avaruuden diskretisoitua versiota). Mutta muutin juuri integraaliksi, jos se saa sinut tuntemaan olosi paremmaksi.