Varoitus: Tämän vastauksen ensimmäinen osa ottaa hyvin teknisen kannan BRST-menettelyyn ja toimii lisäksi rajallisen ulottuvuuden vaihetilan kanssa mukavuuden vuoksi. Se saattaa tuntua melko kaukana haamujen ymmärtämisestä BRST-muunnosten tai haamujen keskimääräisessä sovelluksessa työkaluna.

---

Aaveiden yleiskäsitys

On monia erilaisia tasot, joilla voidaan keskustella haamujen, anti-haamujen esiintymisestä ja niiden lukumäärästä rajoitetussa Hamiltonin mekaniikassa (mikä on sama kuin mittariteoriat Lagrangian tasolla). Yksi niistä on osittain hahmoteltu tässä vastauksessani , jossa BRST-operaattori on esitetty erona mittari Lie -algebran kohomologiassa.

Tarkastelemme hieman erilaista tapaa tarkastella aaveita, nimittäin ” laajentamalla vaihetilaa ”, tässä vastauksessa, vaikka tämä voidaan nähdä Lie-algebran kohomologisen lähestymistavan uudelleen muotoiluna ” -vaiheen avaruuden termeissä ”:

BRST-formalismi pyrkii abstraktilla tasolla toteuttamaan pelkistyksen rajoitepinnaksi $ \ Sigma $ vaihetilassa $ X $ ei ratkaisemalla rajoituksia $ G_a $ , vaan etsimällä sopivaa vaihetilan suurennusta siten, että suurennetun vaihetilan toiminnoilla on luokiteltu johdannainen $ \ delta $ elävät heillä, joiden ho mologia laskee rajoitepinnan toiminnot, jotka ovat mittareita muuttumattomia havaittavia. ¹

Suurennettu vaihetila saadaan seuraavasti:

1. Funktio rajoituspinnalla $ \ Sigma $ saadaan kaikkien vaiheen avaruusfunktioiden osamäärästä moduloimalla pinnalla katoavat toiminnot. Jokainen funktio $ f $ , joka katoaa pinnalta, annetaan $$ f = f ^ a G_a $$ missä $ f ^ a $ ovat mielivaltaisia vaihetilatoimintoja. Jos otetaan käyttöön niin monta muuttujaa $ P_a $ kuin rajoituksia on, ja määritellään $ \ delta P_a = G_a $ sekä $ \ delta z = 0 $ mille tahansa alkuperäiselle vaihetilamuuttujalle, sitten kuva $ \ delta $ on täsmälleen kaikki toiminnot, jotka katoavat $ \ Sigma $ . $ \ delta $ -arvostelua varten $ P_a $ on katsottava olevan $ 1 $ . Funktion astetta ja sen polynomin astetta $ P_a $ kutsutaan anti- haamunumero . ²

2. $ P_a $ ovat yksinäisiä ja tarvitsevat konjugaattimuuttujia. Nämä saadaan niin sanotuilla pitkittäisillä 1-muodoilla rajoituspinnalla, missä rajoituspinnan pitkittäinen vektorikenttä on tangentti mittarin kiertoradoille. Niiden duaalit ovat 1-muotoja, jotka määritellään vain pitkittäisvektoreilla. Sen pitäisi olla geometrisesti intuitiivinen (ja se on itse asiassa totta), että pituussuuntaiset vektorikentät ovat juuri kentät, jotka tuottavat mittarimuunnoksia (ne ovat jälleen vain yksi mittari Lie -algebran inkarnaatio). Siksi on olemassa yhtä monta pituussuuntaista 1-muotoa $ \ eta ^ a $ kuin rajoituksia ja kuin haamuja $ P_a $ .Koska olemassa on luonnollinen toiminta $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ duaalin määritelmän perusteella, on myös luonnollista määritellä vain Poissonin hakasulu suurennetulla vaihetilalla, jonka koordinaatit ovat $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ , kirjoittanut $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ , joten parit $ (\ eta ^ a, P_a) $ toimivat lisäparina kanonisten muuttujien joukosta. Johdanto laajennetaan koskemaan $ \ eta $ yksinkertaisesti $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ väli>. Tämän suurennetun vaiheavaruuden toiminnoille on nyt annettu puhdas haamunumero niiden asteen perusteella, joka on $ \ eta $ .

Kun otetaan huomioon mikä tahansa laajennetun vaihetilan toiminto, aave numero on yksinkertaisesti puhdas haamunumero miinus haamun vastainen numero.

Kummitusnumerossa on hienoa, että se on tietyn generaattorin varaus – sen mittaa operaattori ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ joka täyttää $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operaattorin nimi {gh} (f) f $$ mille tahansa määritetyn haamun toiminnolle määrä. Haamunumero on fyysisesti tärkeä, koska aave-luvun nollatila on yhdessä BRST-invariantin ehdon kanssa välttämätön ja riittävä eheys fyysiseksi tilaksi.

Tämän ehdon saaminen kuitenkin edellyttää nyt hankitaan BRST-ero lisäämällä uusi ero $ \ mathrm {d} $ kohteeseen $ \ delta $ , ja näytetään, että $ \ delta + \ mathrm {d} $ antaa, kun ” pienet häiriöt ” lisätään siihen, BRST-formalismiin vaadittava nilpotenttioperaattori. (Tämän johtaminen on hyvin teknistä, ja sitä kutsutaan joskus nimellä homologisen häiriöteorian ” lause ”) Tutkimalla sitten uudelleen $ \ mathrm {d}, \ delta $ , havaitaan, että mittari-invariantit funktiot ovat juuri niitä invariantteja BRST-operaattorin alla, joilla ei ole kummitusnumeroa, joten kvanttiteoria tulisi myös asettaa tämä rajoitus.

---

^{1 ” jonka homologia laskee ” on matematiikan puhe, koska se on operaattori $ \ delta $ , jossa mittari-invariantit funktiot ovat tarkalleen funktioita, joilla on $ \ delta (f) = 0 $ ja mistä tunnistamme $ f $ ja $ g $ , jos $ h $ on sellainen, että $ \ delta (h) = f – g $ . Lisäksi tämä muuttuu hieman monimutkaisemmaksi pelkistettävien rajoitusten tapauksessa.}

^{2 Pelkistämättömien rajoitusten tapauksessa tämä laskee mittarin jo oikein -muuttujatoiminnot, ja periaatteessa voisi pysähtyä tähän. Ei ole kuitenkaan tyydyttävää lisätä $ P_a $ , mutta sillä ei ole sopivia konjugaattimuuttujia heille Hamiltonin formalismissa.}

^{3 Tämä määritelmä on erillinen, ei-yhteensopiva analogia kysymykseen kirjoitetun lausekkeen $ U $ kanssa.}

^{Pääkatsaus: ” Mittarijärjestelmien kvantisointi ” kirjoittanut Henneaux / Teitelboim}

---

$ bc $ -CFT

Yleinen ” $ bc $ -CFT ” eli 2D konforminen kenttäteoria, jossa on haamumaisia kenttiä, annetaan haamutoiminnolla $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ osal c (z ) + b (z) \ osittainen c (z) \ oikea) $$ , kun kentät $ b $ ja $ c $ kylpylä n> konformiset painot $ h_b $ ja $ h_c = 1 – h_b $ . Vaiheen avaruusfunktiot, joiden haamunumero on nolla, käännetään nyt operaattoreille, joiden paino on konforminen $ 1 $ (koska niissä on yhtä monta haamua ja anti-haamua ja paino käyttäytyy additiivisesti) ).

Tämä osoittaa, että primaarisilla fyysisillä tiloilla (2D CFT: n tilakentän vastaavuuden perusteella) on välttämättä oltava konformaalinen paino $ 1 $ .Tällä on merkitystä merkkijonoteoriassa, jossa $ bc $ -CFT ja $ h_b = 2 $ on luonnollisesti lisätty $ X $ -CFT: hen maailmataulukon kentissä. Geneerisen CFT: n kohdalla kaikki mahdolliset esivaikutukset voivat periaatteessa olla fyysisiä tiloja, mutta BRST-menettely pakottaa haamunumeron nollatilat eli kentät, joiden paino on $ 1 $ , koska vain sallitut fyysiset tilat.

Kommentit

• Tämä on hyvin yksityiskohtainen vastaus, mutta voisitko myös antaa esimerkin kummituslukujen käytöstä erityisesti CFT: ssä ?
• @JakeLebovic: Lisäsin lyhyen selityksen siitä, kuinka nollan aave-numeron vaatimus heijastuu merkkijonoteoriassa (joka on minulle ainoa tapa, jossa haamut esiintyvät CFT: ssä). / li>

Konformaalisen kenttäteoriassa tasossa sinun on määriteltävä sisäinen tulo teoriasi tilat. Bosonisessa merkkijonoteoriassa valtioiden tila eli teorian Hilbert-avaruus $ \ mathcal {H} $ on Virassoro-algebran esitystila:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

CFT: n radiaalisessa kvantisoinnissa kompleksitasolla voidaan teorian Hilbert-avaruuden jokaiseen tilaan liittää paikallisoperaattori kompleksitasolle, ns. operaattorin ja valtion välinen kirjeenvaihto . Tämän Hilbert-tilan BPZ sisäinen tuote voidaan määrittää. Ensimmäinen asia on määritellä asymptoottiset tilat $ | 0 \ rangle $ ja $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Tunnusoperaattori} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {alkuperässä} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Tunnusoperaattori} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {äärettömässä} \, \, z = \ infty $$

Nämä kaksi voivat olla yhteydessä toisiinsa konforminen muunnos $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Voidaan osoittaa, että tässä konformisessa muunnoksessa konformaalisen ulottuvuuden $ h _ {\ Phi} $ kentän $ \ Phi $ moodit $ \ hat {\ alpha} _n $ muuttuvat muodossa:

$$ \ hattu {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hattu {\ alpha} _ {- n} $$

Konformaalisen muutoksen alla meillä on seuraava:

$$ \ hattu {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hattu {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Tämä tarkoittaa Virasoro-algebran osalta, että $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ ja $ L_1 $ ja niiden antiholomorfiset vastineet $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ ja $ \ overline {L} _1 $ tuhoavat sekä $ | 0 \ rangle $ että $ \ langle0 | $. Mutta nämä tilat luovat ryhmän $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, Riemannin pallon globaalin konformaalimuunnoksen ryhmän. Täten $ | 0 \ rangle $ tunnetaan nimellä $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – muuttumaton tyhjiö.

Toisaalta käyttämällä $ (1) $ voidaan osoittaa, että $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ ja $ b_1 $ tuhoavat myös sekä $ | 0 \ rangle $ että $ \ langle0 | $. $ Bc $ -systeemin kanoninen kommutointisuhde osoittaa, että:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

Joten tilat $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ ja $ c_1 $ tuhoavat yksikään näistä $ \ rvert0 \ rangle $ ja $ \ langle0 \ rvert $. Riemannin-pallon ensimmäinen $ bc $ -järjestelmän matriisielementti, joka ei ole nolla, on näin:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

BPZ-konjugaatio eli suhde (1) rikkoo haamunumeroa 3 yksiköllä. Järjestelmän $ bc $ toiminnolla on seuraava haamunumerosymmetria:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Vastaava virta on:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

jossa $: \ cdots: $ tarkoittaa normaalia järjestystä.

Edellä kuvatun haamunumeron rikkomisen alkuperä on geometrinen. $ j $ on sellaisten kiraalisten fermionien fermioniluvavirta, joilla on ei-konverntiaalinen kokonaislukupyörä ($ b $: lla ja $ c $: lla on kokonaislukupyöritys.) Joten sillä on gravitaatioanomaalia:

$$ \ osittainen_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

jossa $ \ lambda $ on muodollinen ulottuvuus / $ b $. Integroimalla tämä voidaan nähdä, että haamunumerorikkomus suvun $ g $ Riemann pinnalla (suljetun merkkijonoteorian maailmansivu) on $ 3 (g-1) $. Haamuvirran merkitys on, että se määrittää CFT: n nollasta poikkeavat S-matriisielementit.