Yksikkövaihesignaali määritetään seuraavasti:
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
: lla on kolme mahdollista ratkaisua Fourier-toimialueen esitystapaansa lähestymistavan tyypistä riippuen. Nämä ovat seuraavat –
- Laajasti käytetty lähestymistapa (Oppenheim-oppikirja) – lasketaan yksikön askelfunktion Fourier-muunnos signum-funktion Fourier-muunnoksesta.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Fourier-muunnos, joka lasketaan yksikön askelfunktion Z-muunnoksesta (Katso Proakis-oppikirja, Digitaaliset signaalinkäsittelyalgoritmit ja sovellukset , sivut 267 268, osa 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Fourier-muunnos, joka lasketaan jakamalla parillisiin ja parittomiin funktioihin – seuraa Proakis-oppikirjassa (katso Proakis-oppikirja, Digitaalisen signaalin käsittelyalgoritmit ja sovellukset , sivu 618, osa 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
Toinen esitys voidaan jättää huomiotta, koska se ei ole hyvin käytettävä toiminto. Mutta Proakiksen ja Oppenheimin noudattamat lähestymistavat ovat yhtä päteviä (ne laajentavat Fourier-muunnoksen sisällyttämään impulssit taajuusalueeseen). Hämmennystä on kuitenkin se, että ne tarjoavat erilaisia ratkaisuja. vai puuttuuko minulta mikään tärkeä kohta? Auta minua ymmärtämään tämä ja oikea muoto, jota voidaan käyttää kaikissa sovelluksissa. (Huomasin, että Oppenheim-lähestymistapaa käytetään johdettaessa Kramers-Kronig-suhdetta ja Proakis-lähestymistapaa, jota käytetään Hilbert-muunnoksen johdannossa.)
Vastaus
Huomaa, että ensimmäinen lauseke on jatkuvan yksikön vaiheen $ u (t) $ Fourier-muunnos, joten sitä ei voida soveltaa diskreetin ajan vaihejärjestykseen $ u [ n] $. Lisäksi toinen ja kolmas lauseke ovat molemmat oikeita, ja ne ovat identtisiä, jos otetaan huomioon, että toinen lauseke ei vaadi pätevyyttä $ 2 \ pi $: n kokonaislukukerroilla.
Jos jätämme kulmataajuudet $ 2 \ pi $ kerrannaisiksi, kolmanneksi lausekkeeksi tulee
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
joka on identtinen toisen lausekkeen kanssa.
Kommentit
- Kiitos paljon! Joo toinen ja kolmas ovat vastaavia mutta kolmannessa heillä on koostumus sisällyttämällä impulssi napoihin. Kiitos selvennyksestä
vastaus
Kuten Matt sanoi, toinen ja kolmas määritelmä ovat samat paitsi osa impulssilla. Impulssi ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) vastaa $ u [n] $: n DC-arvoa . Ilman kyseistä termiä (toista määritelmää) se on itse asiassa $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operaattorin nimi {sgn} [n] $ . Meillä on $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Näin ollen $ u [n] $ : n FT: llä on ylimääräinen termi $ \ frac {1 } {2} $ . Lisäksi $ u [n] $ : n erillinen aika FT (tai DTFT) on kirjoitettu oikein nimellä $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
Ensimmäinen määritelmä, $ U (j \ omega) $ , on ”jatkuva aika” ” $ u (t) $ ” FT (tai CTFT) ”(ei $ u [n] $ ) ja siten erilainen kuin kaksi muuta määritelmää.