Mikä on taajuuden tarkkuus?

Muokkaa:

Olen huomannut, että alla oleva määritelmäni " taajuuden tarkkuudesta " on täysin väärä (samoin kuin OP: n kysymys). Taajuusresoluutio on kuinka samanlainen ikkunafunktion taajuusalueella on Dirac-delta-funktio. Tämä johtuu siitä, että ikkunan ja aikatason signaalin tulo muuttuu taajuusalueella ( ja konvoluutio Dirac-delta-funktion kanssa on näytteenotto, joka antaisi täydellisen taajuusresoluution.) Mitä paksumpi on mainlobe (sen varianssilla kvantifioituna), ja mitä korkeammat sivuraidat, sitä huonompi taajuuden resoluutio. Lisäksi Ajan tarkkuus voidaan kvantifioida ikkunatoiminnon varianssi aikatoimialueella.

Taajuuden tarkkuus ei ole binäärin tarkkuus / leveys. Alla olevassa kaaviossa huomaa, että lohkot eivät pääse lähemmäksi (taajuuden tarkkuus), vaikka astian leveys pienenee.

Luotto: Dan Boschen

Taajuuden tarkkuus on pikemminkin suorakulmaisen funktion (ts. sinc-funktion) Fourier-muunnoksen ominaisuus.

Meidän on ikkunafunktiot toimiakseen Fourier-muunnosten kanssa (jopa teoreettisesti työskenneltäessä). Seurauksena on, että työskentelemme aina $ f (t) w (t) $ -funktion kanssa $ f (t ) $ itse (tässä $ w (t) $ on suorakulmainen funktio). Konvoluutiolauseen mukaan ikkunoidun funktion Fourier-muunnos on aina $ \ hat {f} $ -konvoluutio $ \ kanssa hattu {w} = $ sinc. Etenkin, kun $ f $ on sinimuotoinen, $ \ hat {f} $ on Dirac-delta-funktio ja konvoluutio on vain näytteenotto sinc-funktiosta. Täten menetämme taajuudet ajoittain kokonaan ikkunoitaessa, tämän häviön jaksollisuus on taajuusresoluutio .

Koska ikkunallisissa toiminnoissa DTFT on CTFT: n jaksollinen likiarvo, se saa myös nämä ominaisuudet.

Hämmennystä syntyy, koska kun emme nollaa DFT: tä (ts. vain näyte $ f (t) w (t) $ missä $ w (t) = 1 $ ), roskakorin leveys on yhtä suuri kuin taajuusresoluutio.

Voimme kuitenkin myös täyttää nollia (ts. myös näyte $ f (t) w (t) $ missä $ w (t) = 0 $ ) ja tämä johtaa siihen, että DTF interpoloi paremmin DTFT: n span class = ”math-container”> $ f (t) w (t) $ . Neuvottele ensimmäisen kaavion kanssa.

Jos haluat nähdä, miksi suorakulmaisen funktion Fourier-muunnos on a sinc -funktio , katso tämä video ja harkitse sinimuotoisten toimintojen kelaamista (se on kuitenkin melko mukana)

OP: n esimerkin vastaamiseksi roskakorin tarkkuus on $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ jossa $ F_s = 2000 $ Hz on näytteenottotaajuus, ja $ N $ DFT-koko.

Taajuustarkkuus on se, mikä roskakorin tarkkuus olisi, jos ottaisimme vain näytteen ikkunassa (ei nollaa)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ missä $ M $ on näytteiden määrä ikkunassa, $ T $ on näytteen kesto ja $ F_s = M / T $ .

Kommentit

• Hyvä vastaus Tom.Lisäksi, jos ei ole selvää, emme ' käytä oikeastaan suorakulmaista ikkunaa, mutta muita ikkunoita, jotka kapenevat, vähentävät merkittävästi sivuttaisia reunoja (parantavat dynaamista aluetta) huonontumisen kustannuksella. taajuuden tarkkuus edelleen. Yksi suosikkini klassisista papereistani tästä ja DFT: n sovelluksista yleensä on Fred Harris. Luulen, että ' nautit siitä todella, jos et ole jo nähnyt ' et ole jo nähnyt sitä: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Hienoa, pahoillani, voin ' äänestää kahdesti!
• @TomHuntington Wikipedia ei ilmeisesti tiedä ' tiedä kaavoistani tai tekniikoistani. Minulla on edelleen vaikeuksia intrabin-resoluution kanssa (melun ja yhtälöiden herkkyyden vuoksi), mutta lähellä olevat taajuudet voidaan ratkaista iteratiivisella arvioinnilla ja poistamisella. Kun poistat suuren äänen, pienempi on arvioitavissa. Kun poistat pienen äänen, saat paremman lukun suuresta. Ja niin edelleen, jopa useilla sävyillä. Kaikenlainen ikkuna vaikeuttaa matematiikkaa.
• Jos sinulla on kaksi sinusoidia, joiden amplitudi on lähes sama, mutta taajuudeltaan hyvin lähellä, voit käyttää beat-ilmiötä aikatasossa. Signaalin näennäinen taajuus (nollaristeillä) on kahden taajuuden keskiarvo ja verhokäyrän taajuus (jos suoritat täyden jakson, esim. Kaksi lohkoa) on puolet taajuuksien erosta.
• Tarkkuus määrittelee myös tarkkuuden kaikessa mitä mitat. Se ei kerro mitään tarkkuudesta.

Riippuu vähän siitä, mitä yrität saavuttaa.

Jos teet FFT-pituuden $ N $ signaalista, josta on otettu näyte, nopeudella $ F_s $ , monet ihmiset sanoisivat, että taajuusresoluutiosi on $ \ frac {F_s} {N} $ . Onko se oikein vai ei, riippuu todella siitä, miten määrität taajuusresoluution tarkalleen ja mitä aiot tehdä sen kanssa.

Mitä tapahtuu, on se, että otat taajuusaluetoiminnon näytteenotolla $ \ frac {F_s} {N} $ väli. Heti kun valitset FFT-koon, otat näytteitä molemmista verkkotunnuksista. Näytteenottovälit ovat $ \ frac {1} {F_s} $ ajassa ja $ \ frac {F_s} {N} $ taajuudessa.

Taajuusalueen näytteenotolla on kaikki samat ominaisuudet, vaatimukset ja ongelmat kuin aikatoimialueen näytteenotolla, voit saada aliasing, voit interpoloida, oletetaan jaksollisuutta toisella alueella jne.

Yksinkertaisesti soveltamalla näytteistyslausetta voisimme väittää, että signaalin täydelliseksi luonnehtimiseksi tarvittava taajuusresoluutio on yksinkertaisesti käänteinen pituus aika-alueella. Tämä toimii hyvin signaaleille, jotka ovat luonnostaan ajallisesti sidottuja, kuten LTI-järjestelmän impulssivaste.

Se ei kuitenkaan ole käytännöllistä pitkille jatkuville signaaleille. Tällöin sinun on valittava taajuuden tarkkuus, joka on ”tarpeeksi hyvä” sovelluksellesi ja joka riippuu todella laitteesi vaatimuksista ja tavoitteesta. erityinen sovellus.

Näytteenoton antaa $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
Ikkunan pituus on 1000 näytettä.
Koska ikkunan pituuden on oltava yhtä suuri kuin datan pituus, päätellään, että datan pituus on 1000 näytettä mikä tarkoittaa, että näytteenottoaika on $ 0,5 $ [Sec].

DFT: n Bin-resoluutio on suhde näytteenottovälin ja DFT-näytteet, joka tässä tapauksessa on 2000. Siksi roskakorin tarkkuus on $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

FFT: n binww leveys tai uudelleensuunnittelun resoluutio, kuten haluan kutsua, on Fs / N, missä N on FFT: n koko. Todellinen tarkkuus riippuu käyttämästäsi ikkunasta ja ikkunan pituudesta.

Esimerkiksi: suorakulmainen ikkuna tarjoaa maksimaalisen tarkkuuden, mutta vähemmän dynaamista aluetta. Muut tasaisemmat ikkunat tarjoavat vähemmän resoluutiota dynaamisemmalla alueella tai alemmilla sivulohkoilla.