Mikä yksinkertaisin sanoin on mittarin muuttumattomuus?

Syy siihen, että on niin vaikea ymmärtää, mitä fyysikot tarkoittavat puhuessaan ”vapauden mittarista”, on se, että on olemassa vähintään neljä eriarvoista määritelmää, joiden olen nähnyt käytetyn :

• Määritelmä 1: Matemaattisella teorialla on mittarivapaus, jos jotkut matemaattisista vapausasteista ovat ”tarpeettomia” siinä mielessä, että kaksi erilaista matemaattista lauseketta kuvaa täsmälleen samaa fyysistä järjestelmää . Tällöin turhat (tai ”mittarista riippuvat”) vapausasteet ovat ”ei-fyysisiä” siinä mielessä, että mikään mahdollinen kokeilu ei pystyisi yksilöimään niiden arvoja edes periaatteessa. Yksi kuuluisa esimerkki on kvanttitilan yleinen vaihe – se on täysin mittaamaton ja kaksi Hilbert-avaruudessa olevaa vektoria, jotka eroavat vain kokonaisvaiheesta, kuvaavat täsmälleen samaa tilaa. Toinen esimerkki, kuten mainitsit, on kaikenlainen potentiaali, jonka on oltava erotella fysikaalisen määrän tuottamiseksi – esimerkiksi potentiaalinen energiafunktio. (Vaikka jotkut muut esimerkit, kuten lämpötila, eivät ole esimerkkejä mittareista riippuvista suuruuksista, koska nollalämpötilalla on hyvin määritelty fyysinen tunne.)

  Fysikaalisissa järjestelmissä, jotka on kuvattu matemaattisilla rakenteilla, joissa on mittarivapaus, paras tapa määritellä tietty fyysinen kokoonpano on matemaattisesti sellaisten mittareista riippuvien toimintojen vastaavuusluokka, jotka eroavat vain mittareiden vapausasteiltaan Esimerkiksi kvanttimekaniikassa fysikaalista tilaa ei tosiasiallisesti kuvata yhdellä vektorilla Hilbert-avaruudessa, vaan pikemminkin vektorien ekvivalenssiluokalla, jotka eroavat kokonaisskalaarisesta mulista tiple. Tai yksinkertaisemmin, vektoriviivalla Hilbert-avaruudessa. (Jos haluat saada fancy, fyysisten tilojen tilaa kutsutaan ”projektiiviseksi Hilbert-avaruudeksi”, joka on joukko viivoja Hilbert-avaruudessa, tai tarkemmin Hilbert-avaruuden versio, jossa vektorit tunnistetaan, jos ne ovat verrannollisia Oletan, että voisit myös määritellä ”fyysiset potentiaalienergiat” potentiaalienergiafunktioiden joukkoiksi, jotka eroavat toisistaan vain additiivivakion perusteella, vaikka käytännössä tämäkin ylivoima. Nämä ekvivalenssiluokat poistavat mittarin vapauden rakentamalla, ja niin ovat myös ”mittarit muuttumattomat”.

  Joskus (vaikkakaan ei aina) on olemassa yksinkertainen matemaattinen operaatio, joka poistaa kaikki tarpeettomat vapausasteet ja säilyttää kaikki fyysiset. Esimerkiksi potentiaalienergian perusteella voidaan ottaa gradientti, jotta saadaan voimakenttä, joka on suoraan mitattava.Ja klassisen E & M: n tapauksessa on olemassa tiettyjä lineaarisia osittaisten johdannaisten yhdistelmiä, jotka vähentävät potentiaalin suoraan mitattaviksi $ {\ bf E} $ ja $ {\ bf B} $ kentät menettämättä fyysisiä tietoja. Kvantti-Hilbert-avaruudessa olevan vektorin tapauksessa ei kuitenkaan ole yksinkertaista derivaattoperaatiota, joka poistaa vaihevapauden menettämättä mitään muuta.

• Määritelmä 2: Sama määritelmänä 1, mutta lisävaatimuksena on, että redundanttien vapausasteiden on oltava paikallisia . Tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa jonkinlainen matemaattinen operaatio, joka riippuu mielivaltaisesta sujuvasta funktio $ \ lambda (x) $ avaruuteen, joka jättää fyysiset vapausasteet (ts. fyysisesti mitattavat suuruudet) muuttumattomiksi. Kanoninen esimerkki on tietysti se, että jos otat minkä tahansa sileän funktion $ \ lambda ( x) $, lisäämällä sitten $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ sähkömagneettiseen nelipotentiaaliin $ A_ \ mu (x) $ jätetään fyysiset määrät ($ {\ bf E} $ ja $ {\ bf B } $ kentät) muuttumaton. (Kenttateoriassa vaatimus siitä, että ”fyysiset vapausasteet” ovat muuttumattomia, sanotaan edellyttävän, että Lagrangian tiheys $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ on muuttumaton , mutta muut formulaatiot ovat mahdollisia.) Tämä määritelmä on selvästi paljon tiukempi – edellä määritelmässä 1 esitetyt esimerkit eivät ole tämän määritelmän mukaisia – ja suurimman osan ajasta, jolloin fyysikot puhuvat ”vapauden mittarista” tämä on niiden määritelmä. Tässä tapauksessa sinulla on vain muutama turha / epäfyysinen vapausaste (kuten potentiaalisen energian kokonaisvakio), sinulla on jatkuvasti ääretön määrä. (Jotta asiat olisivat vieläkin sekavampia, jotkut ihmiset käyttävät määritelmässä 1 ilmaisua ”globaalin mittarin symmetria” kuvaamaan asioita, kuten kvanttitilan globaalia vaihevapautta, mikä olisi selvästi määritelmän mukainen ristiriita. 2.)

  On käynyt ilmi, että tämän käsittelemiseksi kvanttikenttäteoriassa sinun on muutettava huomattavasti lähestymistapaa kvantisointiin (teknisesti sinun on ”mitattava polun integraali”), jotta poistaa kaikki epäfyysiset vapauden asteet. Kun ihmiset puhuvat ”mittarin muuttumattomista” määristä tämän määritelmän mukaisesti, käytännössä ne tarkoittavat yleensä suoraan fyysisesti mitattavia johdannaisia, kuten sähkömagneettista tensoria $ F _ {\ mu \ nu} $, jotka pysyvät muuttumattomina (”invarianttit”) missä tahansa mittarin muunnoksessa . Mutta teknisesti on myös muita mittareita muuttumattomia määriä, esim. $ A_ \ mu (x) + \ osal_ \ mu \ lambda (x) $: n yhtenäinen kvanttisuppositio kaikilla mahdollisilla $ \ lambda (x) $: illa tietylle $ A_ \ mu (x): lle. $

  Katso Terry Taon blogikirjoitus saadaksesi erinomaisen selityksen toiselle mittari-symmetrialle matemaattisemmasta näkökulmasta.

• Määritelmä 3: Lagrangian sanotaan joskus omistavan ”mittasymmetrian”, jos on olemassa jokin operaatio, joka riippuu sattumanvaraisesta jatkuvasta funktiosta avaruudessa, joka jättää sen muuttumattomaksi, vaikka vapauden asteita muutettaisiin ovat fyysisesti mitattavissa.

• Määritelmä 4: Paikallisen hilahamiltonilaisille määritellylle ”ristikkomittareiden teorialle” on olemassa jokaisessa ristikkosivustossa tuettu operaattori Joissakin tapauksissa tämä operaattori vastaa fyysisesti mitattavaa määrää.

Määritelmien 3 ja 4 tapaukset ovat hieman käsitteellisesti hienovaraisia, joten en mene heihin täällä – voin puhua heille seuraavassa kysymys, jos joku on kiinnostunut.

Päivitys: Olen kirjoittanut seurantavastauksia onko mitään merkitystä, jossa mitatut vapausasteet voidaan fyysisesti mitata Hamiltonin tapauksessa ja Lagrangian tapaus .

Kommentit

• Erinomainen vastaus! Tämä on yksi parhaista selityksistä (yhdessä paikassa), joka on vielä törmännyt !!!! : D
• Ive esitti jatkokysymyksen # 3 ja # 4 välisestä hienovaraisuudesta
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 Katso vastauksen lopussa oleva päivitys linkeistä seurantaani.

Ymmärsin tämän vasta ottamalla luokan yleiseen suhteellisuusteoriaan (GR), differentiaaligeometriaan ja kvanttikenttoteoriaan (QFT). Pohjimmiltaan on vain koordinaatistojen muutos, joka on otettava huomioon johdannaisessa. Selitän mitä tarkoitan.

Sinulla on teoria, joka on invariantti jonkin symmetriaryhmän alla. Joten kvanttielektrodynamiikassa sinulla on Lagrangin tiheys fermioneille (ei vielä fotoneja) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu – m] \ psi (x) \,. $$ Tämä $ \ bar \ psi $ on vain $ \ psi ^ \ tikari \ gamma ^ 0 $, on tärkeää, että se on monimutkainen konjugoitu.Se, että se on nelivektori spin-avaruudessa, ei ole tässä huolestuttavaa. Se mitä nyt voi tehdä, on muuntaa $ \ psi \ arvoksi \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ muutamalla $ \ alpha \ mathbb R $: lla. Sitten $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ ja Lagrangian ovat invariantit, koska johdannainen ei toimi eksponenttifunktiossa, se on vain vaihekerroin. Sinulla on maailmanlaajuinen symmetria.

Mainosta nyt symmetria paikalliseksi, miksi ei? Globaalin $ \ alpha $ sijaan yhdellä on nyt $ \ alpha (x) $. Tämä tarkoittaa sitä, että valitsemme eri $ \ alpha $ kullekin aika-ajan pisteelle. Ongelmana on, että kun muutamme nyt, poimitaan $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $ erotteluketjun ja tuotesääntöjen kanssa. Se näyttää aluksi tekniseltä komplikaatiolta.

On selvempi tapa nähdä tämä:
Otat johdannaisen kentästä $ \ psi (x) $. Tämä tarkoittaa erotusosamäärän, kuten $$ \ partial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ – 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) ottamista } {\ epsilon} \,. $$ Tämä toimii hienosti globaalilla muutoksella. Mutta paikallisen muutoksen avulla vähennät periaatteessa kaksi arvoa, jotka mitataan eri tavalla. Differentiaaligeometriassa tangenttivälit jakotukin eri pisteissä ovat erilaiset, joten vektoria ei voida verrata vain komponenttien mukaan. Tarvitaan yhteys , jossa on yhteyskertoimet , jotta saadaan aikaan rinnakkaisliikenne . Se on samanlainen täällä. Olemme nyt ylentäneet dollaria $ \ phi $ elämisestä $ \ mathbb R ^ 4 $: lla asumiseen nipussa $ \ mathbb R ^ 4 \ kertaa S ^ 1 $, koska meillä on U (1) -mittariryhmä. Siksi tarvitsemme jonkinlaisen yhteyden voidaksemme siirtää muunnetun $ \ phi $: n $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $: sta $ x $: ksi. Täällä on otettava käyttöön jokin yhteys, joka on $$ \ partial_ \ mu \ to \ mathrm D_ \ mu: = \ osal_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Jos liität sen Lagrange-tiheyteen, jotta se olisi $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$ ja valitse sitten $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $ huomaat, että Lagrangin tiheys pysyy muuttumattomana myös paikallisten muunnosten aikana, koska yhteyskerroin vain vähentää ei-toivotun termin tuote / ketjusäännöstä.

Yleensä suhteellisuusteoria on symmetria mielivaltaisessa diffeomorfismissa, hinta on, että sinun on vaihdettava johdannainen yhteydeksi, $$ \ osittainen \ n \ nabla: = \ osittainen + \ Gamma + \ cdots \,. $$

Koska mainitsit matemaattisesta taustasta, saatat löytää mukavan vastauksen vastaavuusluokkien perusteella.

Mittateoria on fysikaalinen teoria, jossa havaittavat suuruudet, kuten tavoissa, joita voit mitata kokeilla, joissa on täydellinen mittauslaite, ovat ekvivalenssiluokkia vektoriavaruudessa.

Sähkömagneettisuus on yleisin esimerkki. Nykyaikaiset fysiikan teoriat kirjoitetaan aina kuitunippuina, joissa taustalla oleva jakotukki on aika-aika ja kuidut ovat jokin tangenttitila, joka liittyy kuhunkin aika-ajan pisteeseen (kutsutaan tapahtumaksi). E & M vapaassa tilassa (ilman varauksia) kuvataan liittämällä 4 komponenttinen objekti nimeltä $ A _ {\ mu} $ jokaiseen aika-ajan pisteeseen, $ x $, ja vaativa $ A _ {\ mu} (x) $ maxwellin yhtälöiden tyydyttämiseksi.

Luonnossa havaittavat, yhtä mitattavissa olevat suuruudet ovat kuitenkin sähkö- ja magneettikentät, $ \ vec {E} (x) $ ja $ \ vec {B} (x) $. Ne on johdettu luvusta $ A _ {\ mu} (x) $ käyttämällä tässä wikissä annettua määritelmää (katso $ F _ {\ mu \ nu} (x) $ -matriisielementtejä).

On käynyt ilmi, että muunnos $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ osittainen _ {\ mu} f (x) $ mille tahansa kahdesti erilaistuvalle funktiolle $ f (x) $ antaa samat arvot havaittavissa oleville kentille $ \ vec {E} (x) $ ja $ \ vec {B } (x) $. Joten on olemassa ekvivalenssisuhde

$ A _ {\ mu} (x) \ noin A _ {\ mu} (x) + \ osittainen _ {\ mu} f (x) $ .

Ja yleensä mittariteoriat ovat teorioita, joissa havaittavat suuruudet ovat funktioita joidenkin vektoritilojen vektorien ekvivalenssiluokille. tässä tapauksessa vektorit olivat $ A _ {\ mu} (x) $ (nämä ovat vektoreita kahdesti erilaistuvien funktioiden funktiotilassa aika-ajalla), ja ekvivalenssisuhteemme annettiin yllä.

Lopullisesta kysymys siitä, tekevätkö asiat, kuten järjestelmän kokonaisenergian määritys vain vakiotekijöiksi missä tahansa viitekehyksessä, tekee Newtonin dynamiikasta mittarin teoria. Vastaus on ei, ei oikeastaan. Pohjimmiltaan, jos et puhu kenttoteoriasta, fyysikko ei kutsu asiaa mittareiden teoriaksi.

kommentit

• hieno vastaus, mutta kenties olisi tarkempaa sanoa, että mittariteoriassa havaittavat ovat funktioita joukossa vastaavuusluokkia [asioita, kuten liitännät ja nippuosat] mod-mittarin vastaavuus.Mittareiden turhautuminen on, että emme voi ’ tietää monia tapauksia, joissa voimme kuvata näitä toimintoja paitsi antamalla funktioita yhteyksille ja osille.
• Olet oikeassa, kieleni on vähän huolimaton. Sen pitäisi lukea jotain ”. Havaittavissa olevat toiminnot ovat jonkin vektoritilan ekvivalenssiluokkien funktioita. ”

Mittarin muuttumattomuus on yksinkertaisesti redundanssi fyysisen järjestelmän kuvauksessa. Eli. voimme valita äärettömästä joukosta vektoripotentiaalia E & M -alueella.

Esimerkiksi ääretön määrä vektoripotentiaalia voi kuvata sähkömagneettisuutta muuntamalla alla olevan

$$ A (x) \ – A_ \ mu (x) + \ osal_ \ mu \ alpha (x) $$

Tietyn mittarin valitseminen (mittarin kiinnitys) voi tehdä ratkaisun fyysinen ongelma paljon helpompaa kuin se olisi, jos et korjata mittaria.

Normaalisti valitaan Coulomb-mittari: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Sen pitäisi korostetaan, että mittari-invariananssi EI OLE luonnon symmetria, etkä voi mitata mitään siihen liittyvää.

Mittavaihtomattomuus on hyödyllisintä kvanttikenttäteoriassa ja on ratkaiseva osoitettaessa renormalisoitavuutta. Lisäksi QFT: n S-matriisielementit edellyttävät paikallista Lagrangian-arvoa ja siten mittari-invarianttia.

Esimerkkinä siitä, miksi ottaisimme käyttöön potentiaalisen vektorin $ A ^ \ mu $, pidetään Aharonov-Bohmin vaikutusta, joka syntyy vektoripotentiaalin globaalit topologiset ominaisuudet. Siellä on vielä muita syitä mittarin muuttumattomuus tekee elämästä helppoa, mikä vähentää fotonin vapausasteita ns. Kovariaanssissa tai $ R_ \ xi $ -mittarissa, syy-yhteydessä jne. Lähinnä mittarin muuttumattomuuden hyödyllisyys ei tule täysin ilmeiseksi ennen kuin yritetään yrittää työskennellä kvanttikenttäteorian kautta. : D

Kommentit

• @ user122066 Jos tarvitset tulevaa symbolia, katso tämä tex.SE-kysymys . Mutta MathJax tukee vain tiettyjä (La) TeX-komentoja. Katso luettelo MathJax-ohjeista .
• Tarkista kaikki MathJax-viitteet: MathJaxin perusopetus ja pikaopas
• @ user122066: kirjoitit: ” Nyt se on erittäin tärkeä ominaisuus modernissa fysiikassa ja me voimme hyvinkin eksyä ilman sitä! ” Luulen, että liioittelet tässä ja tämä tekee tällaisesta lauseesta ” pelottava ”. Ei ole todisteita siitä, että meidän on työskenneltävä vain ” -mittareiden ” kanssa. Muut lähestymistavat ovat vain tutkimatta.
• @VladimirKalitvianski riittävän oikeudenmukainen. S-matriisiin liittyy rekursiosuhteita, jotka välttävät mittareita, mutta ’ on hyvin vaikea kuvitella jotain löydettävää, joka tekee konputoinnista helpompaa kuin mittarin muuttumattomuus. Olet kuitenkin aivan oikeassa. Poista tämä osa.
• (Hyödyllinen myös TeX-symbolihakuun – Detexify .)

Nämä laskelmat riippuvat usein vain kahden arvon välisestä erosta, ei itse arvoista . Siksi voit vapaasti valita nollan mielesi mukaan. Onko tämä esimerkki mittareiden muuttumattomuudesta samassa mielessä kuin yllä olevat jatko-esimerkit?

Kyllä, se on, mittarin muuttumattomuuden yleisimmässä määritelmässä, sitä fyysikot kutsuvat globaaliksi mittari-muuttumattomuudeksi . Lisätietoja tästä alla.

Jos minun täytyisi kirjoittaa yhden lauseen vastaus otsikkoosi, se olisi seuraava:

Mittavaihtelu on fyysisen lain tarkka määritelmä lainauskartan alla, joka tiivistää fyysisen järjestelmän kokoonpano / parametriavaruuden / koordinaatit joukoksi fyysisesti vastaavien kokoonpanojen vastaavuusluokkia.

Tämä on samassa merkityksessä, että esimerkiksi coset-tuote on hyvin määritelty kartalla, joka jakaa ryhmän normaalin alaryhmän. Konfiguraation fysiikka on riippumaton vastaavuusluokan jäsenen valinnasta .

Mittareiden muuttumattomuus on yksinkertaisin väite siitä, että fyysisen järjestelmän matemaattisessa kuvauksessa on redundanssi . Muussa tapauksessa järjestelmällä on symmetria , muuttumattomuus suhteessa muunnosryhmään.

Globaali mittarin symmetria on sellainen, jossa konfigurointitila on yksinkertainen suorakulmioinen tuote ( ts. triviaalikuitupaketti) fyysisesti erillisten vastaavuusluokkien joukosta ja redundantti parametri, kuten kahden arvon välisen eron tapauksessa. Jos fyysinen kuvaus on Lagrangin kuvaus, silloin Noetherin lause tulee esiin ja tunnistaa konservoidut määrät, yhden kutakin tällaista redundanttia parametria kohden.Mittariryhmä, ts. symmetriaryhmä, vaikuttaa kaikkiin ekvivalenssiluokkiin (kuiduihin) tasavertaisesti. Jatkuvan potentiaalin vähentäminen sähköstaattisesta potentiaalista on sellainen symmetria ja valtava edistysaskel Corvid Civilizationille, koska sen avulla varikset voivat istua korkean jännitteen voimalinjoilla ja ampua mielellään tuulta yhdessä, keskustelemalla uusimmista ajatuksistaan mittareista ja julistamalla, että ” Ei koskaan! ” Pelkäämmekö 22 kV: n maailmanlaajuinen lisäys sähköstaattiseen potentiaaliin, joka voi muuttaa kuulumme järjestelmän fysiikkaa.

Kuitenkin yleensä kun fyysikot puhuvat mittareiden teoriasta, ne tarkoittavat sellaista, jossa symmetriaryhmä voi toimia yleisemmällä tavalla siten, että eri ryhmän jäsen toimii konfigurointitilan kussakin kohdassa. Vastaava kuitupaketti ei ole enää triviaali. Vaikka halusit yksinkertaisempaa esimerkkiä kuin elektrodynamiikka, en usko, että sellaista on. Elektroniaaltofunktioon lisätty vaihe voi olla mikä tahansa koordinaattien sujuva toiminta, ja johdannaisiin sovelletut Leibniz-säännöstä johtuvat ylimääräiset termit aaltofunktion liikeyhtälö (Dirac, Schrödinger) imeytyy täsmälleen EM-potentiaalin yksimuotoisen suljettuun osaan. Sivumennen puolella haluan aina visualisoida EM-potentiaalia Fourier-avaruudessa, minkä voimme tehdä kohtuullisin rajoituksin ( esim postulaatti, että ajattelemme vain esimerkiksi karkaistuja jakaumia) , koska nelipotentiaalin redundantin osan spatiaalinen osa on tällöin sen komponentti aaltovektoria pitkin ( ie ajatellaan 3-vektorina), ja vain aaltovektorille normaali komponentti on fyysisesti tärkeä: se on ainoa osa, joka selviää $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $.

EM-esimerkistä on mielestäni otettava kaksi asiaa:

1. Vaikka se käytännössä johtaa melko vähän monimutkaisuuteen, käsitteellisesti, se on vain pieni hyppy yksinkertaisesta globaalin mittarin symmetrisestä esimerkistä; annamme yksinkertaisesti symmetrioiden toimia paikallisesti sen sijaan, että toimisimme kaikkiin konfigurointitilan pisteisiin yhtäläisesti;

2. Ottaen johtoon kokeellisesti todellinen sähkömagnetismi, oletamme, että tämä mittarin muuttumattomuus m voi olla merkitystä yleisemmin, ja siksi katsomme sen läsnäoloa muissa fyysisissä ilmiöissä. Tämä ei ole muuta kuin aavistuksen motivoima teko. Kokeellisesti havaitsemme, että tämä on hedelmällinen asia. Fysiikassa ei ole syvempää oivallusta kuin kokeelliset tulokset.

Lopuksi minun on mainittava, että mittarin / kuitunipun käsitteet ovat hyödyllisiä myös silloin, kun keinotekoisesti julistamme kokoonpanojen vastaavuusluokitukset perustuen ongelmamme tarpeisiin , vaikka ekvivalenssiluokan jäsenten välillä on fyysinen ero. Yksi rakastetuimmista esimerkkeistä tästä ajattelutavasta on Montgomery ”s ” Kaatuvan kissan mittariteoria ”. Tutkimme kissan kokoonpanon vastaavuusluokkia, jotka ovat vastaavia moduuleja oikea euklidinen isometria kissan muotoisen avaruuden muodostamiseksi, joka tavanomaisessa hoidossa, jossa kissan ajatellaan olevan kaksiosainen robotti, jossa on kierteettömät pallo- ja pistorasianivelet, osoittautuu todellinen projektio taso $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Koko kokoonpanotila on sitten kuitupaketti, jonka muodon pohja on muotoavaruus $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ ja ryhmä $ SO (3) $ määrittelee suunnat kuiduksi Kissa voi kääntää samalla kun se säilyttää kulmamomentin käyttämällä oman muodonsa syklisiä muodonmuutoksia kulmamomentin säilymisen implisiittisen rinnakkaisliikenteen käsitteestä johtuvan liitoksen kaarevuuden vuoksi.

Tässä on kaikkein alkeellisinta esimerkkiä mitoitussymmetriasta.

Oletetaan, että haluat t o keskustele muurahaisista , jotka kävelevät Möbiuksen bändin ympärillä. Muurahaisen sijainnin kuvaamiseksi on kätevää kuvitella nauhan leikkaaminen sen leveyttä pitkin, joten siitä tulee suorakulmio. Sitten voit kertoa minulle, missä muurahainen on, kertomalla minulle kolme asiaa:

• Hänen leveysaste – hänen asemansa suorakulmion leveydellä.
• Hänen pituusaste – hänen asemansa suorakulmion pituudella.
• Hänen suunta – onko hän kiinni suorakulmion ylä- tai alapinnassa.

Pituuspiirin merkitys riippuu tuo kuvitteellinen leikkaus. Jos liikutat leikkausta, kaikki muurahaiset ”muuttuvat. Pituudet muuttuvat. Ei ole mitään fyysistä syytä suosia yhtä leikkausta toiseen, koska voit liuuttaa nauhaa sen pituudelta muuttamatta sen muotoa tai vaikuttamatta muurahaisen käyttäytymiseen. sanoin, absoluuttisella pituusasteella ei voi olla fyysisesti merkityksellistä käsitystä, koska bändillä on käännössymmetria .

Vastaavasti suuntauksen merkitys riippuu siitä, miten merkit pinnat suorakulmion ylä- ja alareunana.Ei voi olla mitään fyysistä syytä suosia yhtä merkintää toisen sijaan, koska voit vaihtaa nauhan kaksi pintaa muuttamatta sen muotoa tai vaikuttamatta muurahaisen käyttäytymiseen. Tämä vaihto on esimerkki mittari-symmetriasta . Siinä on joitain silmiinpistäviä piirteitä, joita tavalliset symmetriat eivät jaa. Katsotaanpa yksi niistä.

Jokaisessa tilanteen symmetrisessä tilanteessa on jokin näkökohta. Sitä voidaan kuvata monin tavoin ilman mitään fyysistä syytä valita niiden välillä. Joskus on kuitenkin hyödyllistä tehdä valinta ja pitää siitä kiinni, vaikka valinta on fyysisesti merkityksetön. Esimerkiksi keskusteluissa ihmisistä, jotka purjehtivat maapallon pinnalla, melkein kaikki tuntemani ihmiset määrittelevät pituuspiirin leikkauksella, joka kulkee Lontoon Greenwichin läpi, lähinnä siksi, että jotkut ihmiset joka asui siellä, otti maailman haltuunsa ja painoi paljon merikarttoja.

Jos menisimme muurahaiskatseluun tavalliselle sylinterimäiselle nauhalle, olisimme voineet asettua orientaation käsitteeseen. yhtä helposti. Maalattaisimme bändin toisen puolen turkoosiksi ”ylhäältä” ja toisen puolen siniseksi ”alareunaksi”, ja se olisi niin. Möbius-bändissä asiat ovat monimutkaisempia, koska Möbius-bändillä on vain yksi puoli! yrität maalata yhden pinnan turkoosiksi ja vastakkaisen pinnan siniseksi, aloittaen nauhan pieneltä alueelta ja siirtymällä ulospäin, turkoosi ja siniset alueet törmäävät väistämättä. (Aikaisemmassa keskustelussamme törmäys piilotettiin pituutta pitkin.)

Tavallisessa symmetrisessä tilanteessa, kuten käännössymmetria, et voi ”valita mahdollisten kuvausten välillä tavalla, joka on fyysisesti mielekästä. Tilanteessa, jossa on mittasymmetria, et ehkä edes ole pystyy valitsemaan mahdollisten kuvausten välillä tavalla, joka on maailmanlaajuisesti johdonmukainen! Voit kuitenkin aina valita yhdenmukaiset kuvaukset pienillä avaruusalueilla. Siksi mittareiden symmetrioita kutsutaan usein paikallisiksi symmetrisiksi .

Pyrin tarjoamaan pitkän, perustavanlaatuisen kuvauksen siitä, mikä on mittarin symmetria, haluan myös tarjota lyhyt, hienostunut. Yksinkertaisimmissa fyysisissä malleissamme tapahtumat tapahtuvat tasaisella jakotukilla, jota kutsutaan avaruudeksi tai avaruudeksi . Tavallinen symmetria on aika-ajan diffeomorfismi, joka säilyttää tapahtumien fyysisen mahdollisuuden. Kehittyneemmissä malleissa tapahtumat tapahtuvat kuitunipussa avaruusaikana. Mittasymmetria on kuitunipun automorfismi, joka säilyttää tapahtumien fyysisen mahdollisuuden.

Perusesimerkissämme Möbius-yhtye on avaruuden rooli, ja muurahaiset kävelevät bändin ympärillä. Orientointipaketissa on automorfismi, joka vaihtaa kaistan kaksi pintaa.

Klassisessa sähkömagneettisuudessa Minkowskin avaruusaika tai jokin muu Lorentzin jakotukki on aika-ajan rooli, ja sähkömagneettista kenttää edustaa yhteys ympyräkimppuun avaruusaikana. Kaluza-Klein -kuvassa varatut hiukkaset liikkuvat ympyräkimppussa ja lentävät suorina viivoina, joiden ”varjot” avaruudessa ovat kiertäviä polkuja, joita näemme. Ympyräpaketissa on automorfismien perhe, joka kiertää ympyrän kuituja, joita hienot ihmiset kutsuvat $ \ operaattorin nimi {U} (1) $ mittarin symmetriaksi. Tämä kuva yleistää kaikki klassiset Yang-Mills-teoriat.

In Palatini-kuva yleisestä suhteellisuusteollisuudesta, tasainen $ 4 $ -dimensionaalinen jakoputki on aika-ajan rooli ja painovoimakenttää edustaa $ \ operaattorinimi {SO} (3,1) $ – liitäntä jakotukin kehyspaketissa. Epäilen, että mainitsemasi lineaarisen gravitaation mittasymmetriat ovat kehyspaketin automorfismeja.

Einsteinin yleisessä suhteellisuusteoksessa symmetriat ovat aika-ajan diffeomorfismeja. Minä luokittelen nämä pikemminkin tavallisiksi symmetrisiksi. kuin mittarin symmetriat. Kuten tparker mainitsi , kaikki eivät kuitenkaan käytä termiä ”mittarin symmetria” samalla tavalla.

Kommentit

• Ihana! M ö bius-bändin idea on vain kaunis, ja se sieppaa todella paljon monimutkaisempien ideoiden ytimen. Pidän siitä myös siitä, miten ideoiden virtaus osoittaa, kuinka yksinkertainen saumattomasti yleistää.
• Hei, mitä ’ s kolmella äänellä? id = ”d63e19a0a6”>

Mittareiden teoriat kuvaavat tila, jolla on pienet, symmetriset lisämitat

Aloita äärettömällä sylinterillä (suoran ja pienen ympyrän suora tulo). Sylinteri voidaan kiertää. Välttääksesi houkuttelemasta käsitteisiin, joita yritän selittää, sanon vain, että sylinteri on valmistettu metalliverkosta: tasaisesti sijoitetut ympyrät juotettuina sen pituisiin johtoihin. Pitkät johdot voivat pyöriä yhtenä yksikkönä, mikä vie kulmankierron vierekkäisten ympyräparien välille. On selvää, että mikä tahansa tällainen kokoonpano voidaan muodostaa jatkuvasti muiksi: kaikki tällaiset sylinterit ovat samanarvoisia niiden päällä indeksoivan sananlaskun muurahaisen näkökulmasta.

Korvaa viiva suljetulla silmukalla, niin että tuote on torus (ja ajattele torusta verkko munkkina, vaikka pienten ympyröiden tason vaihtelu tällä tavoin rikkoo analogian). Mikä tahansa osa donitsiota, joka ei ole koko asiaa, voidaan muodostaa samanlaiseksi osaksi mitä tahansa muuta munkkia, mutta munkkeja kokonaisuutena ei joskus voi olla, koska munkin ympärillä olevaa verkkokierrosta ei voida muuttaa. Vastaavien munkkien luokille on täysin tunnusomaista tämä verkkokierre, joka on luonnostaan epätavallinen.

Korvaa silmukka (ei pieni ympyrä) kahden tai useamman ulottuvuuden jakotukilla. On totta, vaikkakaan ei selvää, että yhteyden fyysinen osa saadaan kokonaisuudessaan integroidusta kierteestä kaikkien suljettujen silmukoiden ympärille ( Wilson-silmukat ).

$ A $ ja $ F $ määrittävät yhteydet

Erillisessä tapauksessa yhteys voidaan kuvata yksinkertaisesti antamalla kierre vierekkäisten ympyröiden välille. Jatkuvuusrajassa tästä tulee ”kierre gradientti” jokaisessa ympyrässä. Tämä on $ A_ \ mu $, ns. vektoripotentiaali.

Jatkuvaa muodonmuutosta voidaan kuvata skalaarikentällä $ \ phi $, joka edustaa määrää, jonka kukin ympyrä on kiertynyt (suhteessa mihin tahansa aikaisemmin). Tämä muuttaa $ A_ \ mu $: n gradientilla $ \ phi $, mutta ei muuta fyysistä määrää (silmukan integraali).

Kuvaus Wilson-silmukoiden ehdot, $ \ lub_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, on tyylikkäämpi, koska se sisältää vain fyysisesti merkityksellisiä määriä, mutta se on paikallinen ja erittäin tarpeeton. Jos tila on yksinkertaisesti yhdistetty, voit välttää r syväys ja epälokaliteetti määrittämällä kierre vain differentiaalisilmukoiden ympärille, koska niistä voidaan rakentaa suurempia silmukoita. Niin sanottu kenttäsensori $ \ partial_ \ nu A_ \ mu – \ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $ antaa sinulle juuri sen.

(Jos tilaa on ei yksinkertaisesti yhdistetty, voit silti päästä eroon differentiaalisilmukoista ja yhdestä nettokierteestä perusryhmän generaattorikappaleen jokaiselle elementille. Torus oli tietysti yksinkertainen esimerkki tästä.)

Voima tulee Aharonov – Bohm-efektistä

Harkitse koko tilaan määriteltyä skalaarikenttää (toisin kuin aikaisemmat kentät, tämä ottaa arvon jokaisen ympyrän jokaisessa kohdassa). Kenttä on nolla kaikkialla, lukuun ottamatta kahta kapeaa sädettä, jotka poikkeavat pisteestä ja yhdistyvät uudelleen jonnekin muualle. (Ehkä ne heijastuvat peileistä; ehkä tila on positiivisesti kaareva; sillä ei ole merkitystä.)

Ellei kenttä ole vakio ympyröiden yli, säteiden häiriökäyttäytyminen riippuu erosta kiertämällä kahta polkua pitkin. Tämä ero on vain integraali polkujen muodostaman suljetun silmukan ympärillä.

Tämä on (yleistetty) Aharonov – Bohm -vaikutus. Jos rajoitat sen eri tavoin vaihteleville poluille ja käytät $ F _ {\ mu \ nu} $ laskemaan vaikutuksen häiriöön, saat sähkömagneettisen voiman lain.

Voit hajottaa kentän Fourier-komponenteiksi. Fourier-spektri on erillinen pienessä ulottuvuudessa. Kiertyminen ei vaikuta nolla (vakio) harmoniseen. Toinen harmoninen vaikuttaa kahdesti enemmän kuin ensimmäinen. Nämä ovat sähkövarauksia.

Todellisuudessa tuntemattomista syistä näyttää olevan vain tiettyjä ulottuvuuksia. Jos vain ensimmäinen yliaalto on olemassa, kentän vastaava kuvaus on yksi kompleksinen amplitudi + vaihe suurten ulottuvuuksien jokaisessa pisteessä. Vaihe on suhteessa mielivaltaiseen paikalliseen nollapisteeseen, jota myös vektoripotentiaali käyttää. Kun verrataan vaihetta läheisen pisteen vaiheeseen ja niiden välillä on vektoripotentiaalinen kierre $ \ mathrm d \ theta $, sinun on säädettävä kentän arvoa arvolla $ i \, \ mathrm d \ theta $ Tämä on -mittarin kovarianssijohdannaisen alkuperä.

Piirit yleistyvät muiksi muodoiksi

Jos vaihdat piireissä, joissa on 2 palloa, saat $ \ mathrm {SU} (2) $ -mittarin teorian. Se on numeerisesti nasti: symmetriaryhmä on ei-kommutatiivinen, joten sinun on tuotava sisään Lie-algebran koneisto. Paljon on muuttunut. Liitettävyyttä kuvataan silti verkkokierteellä silmukoiden ympärillä.

Yksi valitettava ero on se, että varauksen kuvaus ylimääräisenä harmonisena cs ei toimi enää enää. Palloharmoniset antavat sinulle vain kokonaisluku-spin-esitykset, ja kaikki tunnetut hiukkaset ovat standardimallin $ \ mathrm {SU} (2) $ spin-0- tai spin-½ -esityksissä, joten hiukkaset, joihin $ vaikuttaa \ mathrm {SU} (2) $ force ollenkaan ei voida kuvata tällä tavalla. Ongelma voidaan ehkä kiertää eksoottisemmalla kenttätyypillä.

Minulla ei ole mitään oivaltavaa sanoa vakiomallin mittariryhmän $ \ mathrm {SU} (3) $ -osasta, paitsi huomauttaa, että koko SM-mittariryhmä voidaan upottaa ryhmään $ \ mathrm {Spin} (10) $ , ja mielestäni 9-pallon visualisointi on helpompaa kuin muoto, jossa on $ \ mathrm {SU} (3) $ symmetria.

Yleinen suhteellisuusteoria on samanlainen

Yleisessä suhteellisuusteollisuudessa Riemannin kaarevuustensori on analoginen kenttensorin kanssa. Aharonov-Bohmin vaikutus on analoginen kulmavajeeseen kosmisen merkkijonon ympärillä . Kaluza-Klein-teoria viittasi alun perin tiettyyn tapaan saada sähkömagneettisuus yleisestä suhteellisuusteoriasta viidessä ulottuvuudessa; nyt se viittaa usein laajaan ajatukseen, että vakiomallin mitoitusvoimat ja yleinen suhteellisuusteoria ovat todennäköisesti saman asian eri puolia.

Klassisessa elektrodynamiikassa (CED) mittarin muuttumattomuus tarkoittaa sähköisten ja magneettikenttien riippumattomuutta potentiaalien $ \ varphi $ ja $ \ bf {A} $ tietystä ”valinnasta”. Potentiaalien yhtälö riippuu tietysti tietystä ”mittarin” valinnasta, ja ne antavat erilaisia ratkaisuja eri mittareille.

QM: ssä ja QED: ssä mittarin muuttumattomuus tarkoittaa myös yhtälömuoto (ratkaisut ovat edelleen erilaisia, mutta fyysisesti samanarvoisia).

Mutta tulisi pitää kiinni Pidä mielessä, että kaikki hyödylliset muuttujien muutokset ovat myös hyväksyttäviä, jos vastaavat tulokset pysyvät fyysisesti samat. Tällöin yhtälöiden muodon ei pitäisi olla pakollista olla ”muuttumaton”.