Miksi korkea positiivinen kurtoosi on ongelmallinen hypoteesitesteissä?

Vastaa

tämä viesti )

Korkea kurtosis liittyy usein pienempiin poikkeamiin keskiarvosta $ ^ \ ddagger $ – enemmän pieniä jäännöksiä kuin löydät normaalijakaumalla .. mutta jotta keskihajonta pysyisi samassa arvossa, meillä on oltava myös enemmän isoja jäännöksiä (koska jos sinulla olisi enemmän pieniä jäännöksiä, tyypillinen etäisyys keskiarvosta olisi pienempi) Saadaksesi enemmän sekä isoja että pieniä jäännöksiä, sinulla on vähemmän ”tyypillisiä kokoisia” jäännöksiä – niitä, jotka ovat noin yhden keskihajonnan päässä keskiarvosta.

$ \ ddagger $ se riippuu siitä, kuinka määrität ”pienyyden”; Et voi yksinkertaisesti lisätä paljon suuria jäännöksiä ja pitää varianssi vakiona, tarvitset jotain sen kompensoimiseksi – mutta joillekin annettu pienille mitta-arvoille voit löytää tapoja lisätä kurtoosia lisäämättä kyseinen toimenpide. (Esimerkiksi korkeampi kurtoosi ei tarkoita automaattisesti korkeampaa huippua sellaisenaan)

Korkeammalla kurtoosilla on taipumus mennä suurempien jäännösten kanssa, vaikka varianssi pysyisikin vakiona.

[Lisäksi joissakin tapauksissa pienten jäännösten pitoisuus voi itse asiassa johtaa enemmän ongelmaan kuin suurimpien jäännösten lisäosa – riippuen siitä, mitä asioita tarkastelet.]

Katsotaan joka tapauksessa esimerkkiä. Tarkastellaan yhden otoksen t-testiä ja otoskokoa 10.

Jos hylkäämme nollahypoteesin, kun t-tilaston absoluuttinen arvo on suurempi kuin 2.262, silloin kun havainnot ovat riippumattomia, identtisesti jakautuu normaalijakaumasta, ja oletettu keskiarvo on todellinen populaation keskiarvo, hylkäämme nollahypoteesin 5% ajasta.

Harkitse tiettyä jakaumaa, jonka kurtoosi on huomattavasti korkeampi kuin normaalilla: 75% väestömme arvot ovat peräisin normaalijakaumasta ja loput 25%: n arvot ovat peräisin normaalijakaumasta, jonka keskihajonta on 50 kertaa suurempi.

Jos laskin oikein, tämä vastaa 12 (ylimääräinen kurtoosi 9). Tuloksena oleva jakauma on huomattavasti normaalia korkeampi ja sillä on raskas pyrstö.Tiheyttä verrataan alla olevaan normaaliin tiheyteen – näet korkeamman huipun, mutta vasemmassa kuvassa ei todellakaan näe raskaampaa häntä, joten piirrin myös tiheyksien logaritmin, joka ulottuu kuvan ja pakkaa yläosan, mikä helpottaa sekä huipun että hännän näkemistä.

Tämän jakauman todellinen merkitsevyystaso, jos suoritat ”5%” yhden otoksen t-testin $ n = 10 $ on alle 0,9%. Tämä on melko dramaattista ja vetää voimakäyrää melko huomattavasti.

(Näet myös merkittävän vaikutuksen luottamusvälien kattavuus.)

Huomaa, että eri jakaumalla, jolla on sama kurtoosi, on erilainen vaikutus merkitsevyystasoon.

---

Miksi hylkääminen korko laskee? Se johtuu siitä, että raskaampi pyrstö johtaa muutamiin suuriin poikkeamiin, jolla on hieman suurempi vaikutus keskihajontaan kuin keskiarvoon; tämä vaikuttaa t-tilastoon, koska se johtaa enemmän t-arvoihin välillä -1 ja 1, prosessissa vähennetään arvojen osuutta kriittisellä alueella.

Jos otat näytteen, joka näyttää melko johdonmukaiselta sen kanssa, että se on peräisin normaalijakaumasta, jonka keskiarvo on juuri tarpeeksi kaukana oletetusta, se tarkoittaa merkittävä, ja sitten otat havainnon kauimpana keskiarvosta ja vedät sen vielä pidemmälle (ts. lisää keskiarvoa vielä suuremmaksi kuin $ H_0 $ ), sinä itse asiassa tee t-tilasto pienemmäksi .

Haluan näyttää sinulle. Tässä on esimerkki koosta 10:

 1.13 1.68 2.02 2.30 2.56 2.80 3.06 3.34 3.68 4.23 

Kuvittele, että haluamme testata sitä $ H_0: \ mu = 2 $ (yhden näytteen t-testi). Osoittautuu, että näytteen keskiarvo on tässä 2,68 ja otoksen keskihajonta on 0,9424. T-tilastoksi saadaan 2,282 – vain hylkäysalueella 5%: n testi (p-arvo 0,0484).

Tee nyt suurin arvo 50:

 1.13 1.68 2.02 2.30 2.56 2.80 3.06 3.34 3.68 50 

Vedämme selvästi keskiarvon ylöspäin, joten sen pitäisi osoittaa eroa jopa enemmän kuin ennen, eikö? No, ei, se ei ”t”. T-tilasto laskee alas . Se on nyt 1,106, ja p-arvo on melko suuri (lähes 30%). Mitä tapahtui? No, vedimme keskiarvon ylöspäin (arvoon 7,257), mutta keskihajonta nousi yli 15: n.

Vakiopoikkeamat ovat hieman herkempiä poikkeamille kuin keskiarvot – kun laitat arvon, sinulla on taipumus työntää yhden näytteen t-tilastoa kohti 1 tai -1.

Jos on olemassa useita poikkeavuuksia, tapahtuu paljon samaa, vain ne voivat joskus olla vastakkaisilla puolilla (tällöin keskihajonta on vieläkin suurempaa, kun taas vaikutus keskiarvoon on pienempi kuin yksi outlier), joten t-tilastolla on taipumus siirtyä lähemmäksi nollaa.

Samanlaisia juttuja jatketaan useiden muiden tavallisten testien kanssa, joissa oletetaan normaalia – korkeampi kurtoosi liittyy yleensä raskaampiin pyrstöihin, mikä tarkoittaa enemmän poikkeavuuksia, mikä tarkoittaa, että keskihajonnat kasvavat suhteessa keskiarvoihin, joten poimittavat erot pyrkivät ”tukahduttamaan” poikkeamien vaikutuksen testiin. Toisin sanoen pieni teho.

Kommentit

• Vau, kiitos paljon selkeästä ja yksityiskohtaisesta vastauksesta. Aikasi on arvostettu!
• On myös syytä huomata, että vaikka otoksen keskiarvon suuri otosjakauma ei riipu kurtoosista (siten keskiarvon muunnoksen normaalia olettavien testien todellinen merkitsevyystaso) ges nimellistasolle, tyypillisesti .05, n- > äärettömyydeksi, kaikille äärellisille kurtoosille), sama ei päde varianssitesteihin. Arvioidun varianssin suuri otosjakauma riippuu kurtoosista, joten klassisten, normaalia olettavien varianssitestien todellinen merkitsevyystaso ei lähene nimellistasolle n – > ääretön, kun kurtosis eroaa nollasta.
• Korkeampi kurtoosi ei myöskään tarkoita matemaattisesti, että ” on enemmän pieniä poikkeamia keskiarvosta. ” Ainoa asia, jonka se kertoo sinulle varmasti, on se, että häntä on enemmän.
• Et voi saada enemmän suuria poikkeamia ja pitää varianssi vakiona ellet tee myös enemmän pieniä poikkeamia; Jos et pidä varianssia vakiona, enemmän poikkeamiasi pienenee suhteessa uuteen asteikkoon. Joten kyllä, kun on kyse kurtoosin tarkastelusta, matematiikka kertoo sinulle, että suurempi voi kuljettaa enemmän pieniä.
• @Peter Anna ’ ottaa $ Z $ standardoituna $ X $: na. Kurtosis on $ \ kappa = E (Z ^ 4) $, ja $ \ sqrt {\ kappa-1} = E (Z ^ 2) $ on yksitoikkoinen $ \ kappa $: ssa. Jos siirrän todennäköisyyden edelleen $ Z $: n hännään, jonkin todennäköisyyden on siirryttävä kohti keskiarvoa (tai en voi ’ pitää $ \ text {Var} (Z) = 1 $ ).Vastaavasti, jos siirrän todennäköisyyden edelleen $ X: n hännään, $ & anna varianssin kasvaa, $ \ mu \ pm k \ sigma $ on leveämpi, joten ainakin joidenkin arvojen $ k $ enemmän muusta jakelusta yleensä putoaa näiden rajojen sisälle; kun standardoit uuden $ X $: n ($ X ’ $ – $ Z ’ $ sanomalla), siinä on enemmän pienempiä arvoja suora järki.

Vastaa

Vastaus