Miksi maapallon ' painovoima on vahvempi napoilla?

Tarkoitus on, että jos arvioimme maapalloa soikeana ellipsoidina, niin maan pinta on potentiaalipinta , $ ^ 1 $ katso esim. tämä Phys.SE-viesti.

Koska napa-säde on pienempi kuin päiväntasaajan säde, potentiaalien potentiaalipintojen tiheyden on oltava napoilla suurempi kuin päiväntasaajalla.

Tai vastaavasti kenttien kentän voimakkuuden $ ^ 2 $ $ g $ on oltava suurempi kuin päiväntasaajalla.

–

$ ^ 1 $ Huomaa, että potentiaali viittaa tässä painovoiman ja keskipakovoimien yhteisvaikutukseen. Jos kaadamme vähän vettä potentiaalipinnalle, ei olisi suositeltavaa virtaussuuntaa.

$ ^ 2 $ Vastaavasti kentän voimakkuus, joka tunnetaan nimellä pieni $ g $ , viittaa painovoiman ja keskipakovoimien yhteisvaikutus, vaikka $ g $ kutsutaan usein (rennosti ja hieman harhaanjohtavaksi) gravitaatio vakiona maan pinnalla.

Kommentit

• Toiko argumentti ” olet lähempänä massakeskipistettä ”?
• mukavaa. Vaikka vastaus ei koskaan käytä termiä ” keskipakovoima, ” että ’ on implisiittinen argumentti, koska ekvipotentiaali on pyörivässä kehyksessä potentiaalipotentiaali.
• @Floris – Argumentti, että ” olet lähempänä massakeskipistettä ” kinda-sort toimii, jossa kinda-sorta tarkoittaa tässä tapauksessa noin 3/2 (toisin kuin yksi). Noin 2/3 päiväntasaajan vähennyksestä johtuu siitä, että päiväntasaaja on 21 km kauempana maapallon keskustasta. Toinen 1/3 johtuu suoraan keskipakoisvoimasta (ja tietysti ensimmäinen 2/3 johtuu epäsuorasti keskipakoisvoimasta).
• @DavidHammen – Luulen, että kirjoissani ” painovoima ” on vain vetovoima kahden massiivisen kohteen välillä; maan pinnalla olevan massan kokema voima moduloi sekä etäisyyttä että pyörimistä, mutta vain edellinen on ” painovoima ” minun kirjat. Koska OP ilmoitti ymmärtävänsä kierto-osan, ehdotin todella keskittyvän yksinkertaiseen tapaan ilmoittaa toinen osa.
• Luulen, että Lubos kirjoitti kauan sitten vastauksen, joka selittää jonkin verran, miksi päiväntasaajan aiheuttama painovoima pullistuma on erilainen kuin voisi naiivisti ajatella. Näen ’, voinko selvittää vastauksen.

Monissa paikoissa todetaan, että maapallon painovoima on pylväillä vahvempi kuin päiväntasaaja kahdesta syystä:

1. keskipakopumppu voima kumoaa painovoiman minimaalisesti, enemmän päiväntasaajalla kuin pylväissä.
2. Napat ovat lähempänä keskustaa päiväntasaajan pullistuman vuoksi, ja niillä on siten voimakkaampi painovoimakenttä.

TL; DR-versio: Syitä on kolme. Suuruusjärjestyksessä

1. Napat ovat lähempänä päiväntasaajan pullistuman vuoksi maan keskelle. Tämä vahvistaa painovoimaa napoissa ja heikentää sitä päiväntasaajassa.

2. Päiväntasaajan kohouma muuttaa maan painovoimaa. heikentää painovoimaa napoilla ja vahvistaa sitä päiväntasaajalla.

3. Maa pyörii, joten maapallon sitoutunut tarkkailija näkee keskipakovoiman. ei ole vaikutusta napoihin ja heikentää gravitaatiota päiväntasaajalla.

Katsotaanpa, miten kysymyksen kaksi selitystä verrataan havaintoihin.Seuraava taulukko vertaa sitä, mitä pallomainen painovoimamalli vähemmän keskipakokiihtyvyyttä ennustaa gravitaatiokiihtyvyydelle merenpinnassa päiväntasaajan ($ g _ {\ text {eq}} $) ja pohjoisnavan ($ g _ {\ text {p}} $) verrattuna vakiintuneella Somigliana-painovoimakaavalla laskettuihin arvoihin $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Määrä} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Yhteensä} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0,03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & 0.09995 & 0.05186 & \ phantom {-} 0,04809 \ end {matrix} $

Tämä yksinkertainen malli toimii laadullisesti. Se osoittaa, että painovoima pohjoisnavalla on korkeampi kuin päiväntasaajan. Määrällisesti tämä yksinkertainen malli ei ole kovin hyvä. Se liioittelee huomattavasti pohjoisnavan ja päiväntasaajan painovoiman välistä eroa melkein kerralla kahdella.

Ongelmana on, että tämä yksinkertainen malli ei ota huomioon päiväntasaajan pullistuman painovoimaa. Yksinkertainen tapa ajatella tätä pullistumaa on, että se lisää positiivisen massan päiväntasaajalle, mutta lisää negatiivisen massan napoihin, jolloin massan nettomuutos on nolla. Pylvään negatiivinen massa vähentää painovoimaa navan läheisyydessä, kun taas päiväntasaajan positiivinen massa lisää ekvatoriaalista gravitaatiota. Sitä lääkäri määräsi.

Matemaattisesti se, mitä massojen liikkuminen tekee, on luoda kvadrupolimomentti maan painovoimakenttään. Menemättä pallomaisten yliaaltojen yksityiskohtiin tämä lisää termin, joka on yhtä suuri kuin $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ painovoima, jossa $ \ lambda $ on geokeskinen leveysaste ja $ J_2 $ on maapallon toinen dynaaminen muoto. Lisäämällä tämä nelijaksotermi yllä olevaan taulukkoon saadaan seuraava:

$ \ begin {matrix} \ text {Määrä} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Yhteensä} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Tämä yksinkertainen lisäys kvadrupolista tekee nyt erittäin mukavan ottelun.

Numerot, joita käytin yllä:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ teksti {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, maapallon painovoimaparametri ilman ilmakehän vaikutusta.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, maapallon ekvatoriaalinen säde (keskimääräinen vuorovesi-arvo).

• $ 1 / f = 298.25231 $, maapallon tasoittuminen (keskimääräinen vuorovesi) arvo).

• $ \ omega = 7.292115855 \ kertaa 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, maapallon kierto korko.

• $ J_2 = 0.0010826359 $, maapallon toinen dynaaminen muotokerroin.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitaatio merenpinnassa päiväntasaajalla.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, mikä heijastaa havaittua eroa päiväntasaajan painovoiman ja napojen välillä.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, kuvan epäkeskisyyden neliö. maapallon.

Nämä arvot ovat enimmäkseen lähtöpaikasta Groten, ”Perusparametrit ja nykyinen (2004) paras arvio parametreista tähtitieteen, geodeesian ja geodynamiikan kannalta. ” Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , vakiopainoparametriä muutettu sulkemaan pois ilmakehän massa. Maapallon ilmakehällä on gravitaatiovaikutus Kuuhun ja satelliitteihin, mutta ei niin paljon maan pinnalla seisoviin ihmisiin.

kommentit

• Re ” Napat ovat lähempänä maapallon keskustaa johtuen päiväntasaajan pullistumaan. Tämä vahvistaa painovoimaa napoissa ja heikentää sitä päiväntasaajalla. ” : Tämä olisi ei ole totta, jos maapallolla on tasainen massajakauma .
• @PeterMortensen – Se on väärin. Vaikka maapallolla olisi tasainen tiheys, painovoiman kiihtyvyys napassa olisi suurempi kuin päiväntasaajan kertoimella noin $ 1 + \ frac 1 5 f $, jossa $ f $ on litistystekijä. Katso Painovoiman jakautuminen pyörimättömällä oblaattisella pallopallolla .
• Se ’ on todella hyödyllistä, että kaikki tämä on yhdessä paikassa; En koskaan oikeastaan tajunnut tilanteen vakavuutta, ennen kuin käyn läpi sen kaikki kerralla.

Täällä ”Yksinkertainen argumentti, joka ei vaadi mitään tietoa hienoista asioista, kuten potentiaalista tai pyörivistä viitekehyksistä. Kuvittele, että voisimme asteittain pyörittää maata nopeammin ja nopeammin. Lopulta se lentäisi erilleen. Tällä hetkellä, kun se alkoi lentää erilleen, tapahtuisi, että päiväntasaajan maanosat kiertoradan nopeudella. Kun olet kiertoradalla, koet ilmeistä painottomuutta, aivan kuten avaruusaseman astronautit.

Joten päiväntasaajan pisteessä painovoiman näennäinen kiihtyvyys $ g $ (eli mitä mitat maan pinnalle kiinnitetyssä laboratoriossa) laskee nollaan, kun maa pyörii riittävän nopeasti. Interpoloimalla odotamme, että varsinaisen pyöräytyksen pitäisi vähentää $ g $ päiväntasaajassa verrattuna arvoon, joka sillä olisi, jos maa ei pyöriisi.

Huomaa, että tämä argumentti automaattisesti ottaa huomioon maapallon vääristymät pallomaisuudesta poispäin. Soikea muoto on vain osa pallomaisuuden ja hajoamisen välistä interpolaatiota.

Se on erilainen napoilla. Riippumatta siitä, kuinka nopeasti pyörität maata, osa pohjoisnavan maapallosta ei koskaan ole kiertoradalla. $ G $ arvo muuttuu maan muodon muutoksen takia, mutta vaikutuksen on oltava suhteellisen heikko, koska se ei voi koskaan johtaa hajoamiseen.

Vapaapudotuksen kiihtyvyyden erolla napojen ja päiväntasaajan välillä on kaksi vaikuttavaa tekijää. Keskustelen niistä yksitellen.

Napoilla mitatut gravitaatiokiihtyvyys on 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Päiväntasaajalla mitattu gravitaatiokiihtyvyys on 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Kun otetaan huomioon maapallon ekvatoriaalinen säde ja maapallon pyörimisnopeus, voit laskea, kuinka paljon keskisuuntaista kiihtyvyyttä tarvitaan pyörimään yhdessä maan kanssa, kun olet päiväntasaajalla. Se tulee 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Tämä vaadittu keskitason kiihtyvyys (päiväntasaajan kohdalla) menee päiväntasaajan todellisen painovoiman kiihtyvyyden kustannuksella.

Voimme siis rekonstruoida, mikä olisi ekvatoriaalinen painovoima kiihtyvyydellä taivaankappaleella, jonka koko ja tiheys ja päiväntasaajan pullistuma ovat maapallon kanssa, mutta ei pyöri.

Todellinen painovoimakiihtyvyys: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Joten ero on edelleen 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Tämä jäljellä oleva ero johtuu maapallon tasoittumisesta: päiväntasaajalla olet kauempana maapallon painovoimakeskuksesta kuin pylväillä.

Tarkoitus on, että kaikki vaikutukset otettiin huomioon. Matematiikka lasketaan yhteen siitä, että enemmän massaa jalkojesi alla on vielä vähemmän kuin etäisyys massan keskipisteestä.

Toinen näkymä on. Päiväntasaajalla lähelläsi on pullistuma. Mutta muualta maapallosta pullistuma on kaukana sinusta. Vertaa pylvääseen, että kaikki pullistumat ovat yhtä kaukana sinusta, tuo huomioon ero