Tänään törmäsin uuteen aiheeseen nimeltä Matemaattinen odotus. Seuraamassani kirjassa sanotaan, että odotus on mistä tahansa todennäköisyysjakaumasta peräisin olevan satunnaismuuttujan aritmeettinen keskiarvo. Mutta se määrittelee odotuksen joidenkin tietojen tulon ja sen todennäköisyyden summana. Kuinka nämä kaksi (keskiarvo ja odotukset) voivat olla samat? Kuinka todennäköisyyksien summa voi olla koko jakauman keskiarvo?
Vastaus
Epävirallisesti todennäköisyysjakauma määrittää satunnaismuuttujan tulosten suhteellinen taajuus – odotettua arvoa voidaan ajatella näiden tulosten painotettuna keskiarvona (painotettuna suhteellisella taajuudella). Vastaavasti odotettua arvoa voidaan ajatella syntyvän numerosarjan aritmeettisena keskiarvona tarkassa suhteessa niiden esiintymistodennäköisyyteen (jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa tämä ei ole ”t täsmälleen totta, koska tiettyjen arvojen todennäköisyys on $ 0 $).
Odotetun arvon ja aritmeettisen keskiarvon välinen yhteys on selvin erillisellä satunnaismuuttujalla, jossa odotettu arvo on
$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$
missä $ S $ on näytetila. Oletetaan esimerkiksi, että sinulla on erillinen satunnaismuuttuja $ X $, joka:
$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {todennäköisyydellä} 1/8 \\ 2 & \ mbox {todennäköisyydellä} 3/8 \\ 3 & \ mbox {todennäköisyydellä} 1/2 \ end {tapauksissa} $$
Toisin sanoen todennäköisyysmassafunktio on $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ ja $ P (X = 3) = 1/2 $. yllä oleva kaava, odotettu arvo on
$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2,375 $$
Harkitse nyt taajuuksilla luotuja lukuja, jotka ovat tarkalleen verrannollisia todennäköisyysmassafunktioon – esimerkiksi numerojoukko $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – kaksi $ 1 $ s, kuusi $ 2 $ s ja kahdeksan $ 3 $ s. Ota nyt näiden lukujen aritmeettinen keskiarvo:
$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$
ja näet sen olevan täsmälleen odotetun arvon mukainen.
Kommentit
- Eikö ’ t paremmin kuvanneta sitä käyttämällä yksinkertaisempaa joukkoa {1,2,2,2,3,3,3,3}? Aritmeettinen lauseke kyseisen joukon keskiarvo on identtinen lausekkeen kanssa, joka näyttää kyseisen muuttujan odotusarvon (jos muunnat painotetut tuotteet yksinkertaisiksi summiksi).
- Re: ” lauseke, joka näyttää kyseisen ryhmän aritmeettisen keskiarvon, on identtinen lausekkeen kanssa, joka näyttää kyseisen muuttujan odotusarvon (jos muunnat painotetut tuotteet yksinkertaisiksi summiksi) ” – Kyllä @Dancrumb, se oli koko piste 🙂
vastaus
Odotus on satunnaismuuttujan keskiarvo tai keskiarvo, ei todennäköisyys sellaisenaan se on harkinnanvaraista e satunnaismuuttujien painotettu keskiarvo arvoista, jotka satunnaismuuttuja ottaa, missä painotus on näiden yksittäisten arvojen suhteellisen esiintymistiheyden mukaan. Ehdottomasti jatkuvan satunnaismuuttujan osalta se on arvojen x integraali kerrottuna todennäköisyystiheydellä. Havaittua dataa voidaan tarkastella riippumattomien identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien kokoelman arvoina. Näytekeskiarvo (tai otosodotus) määritellään datan odotukseksi havaittujen tietojen empiirisen jakauman suhteen. Tämä tekee siitä yksinkertaisesti tietojen aritmeettisen keskiarvon.
Kommentit
- +1. Hyvä saalis re: ” Odotus on satunnaismuuttujan keskiarvo tai keskiarvo, ei todennäköisyysjakauma ”. En huomannut ’ en huomannut tätä hienovaraista terminologian väärinkäyttöä.
Vastaa
Kiinnitämme tarkkaa huomiota määritelmiin:
Keskiarvo määritellään numerokokoelman summana jaettuna kokoelman numeroiden määrällä. Laskelma olisi ”i in 1” arvoon n, (x alaosan i summa) jaettuna n: llä. ”
Odotettu arvo (EV) on sen edustaman kokeen toistojen keskipitkän aikavälin keskiarvo. Laskelma olisi” i: lle 1 – n, tapahtuman x sub i summa kertaa sen todennäköisyys (ja kaikkien p sub i: n = 1) summa. ”
Oikean kuoleman tapauksessa on helppo nähdä, että keskiarvo ja EV ovat samat. Keskiarvo – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3,5 ja EV olisi:
prob xp * x
0,167 1 0,17
0,167 2 0,33
0,167 3 0,50
0,167 4 0,67
0,167 5 0,83
0,167 6 1,00
EV = summa (p * x) = 3,50
Mutta entä jos muotti ei olisi ”oikeudenmukainen”. Helppo tapa tehdä epäoikeudenmukainen kuolema olisi porata Ah ole kulmassa 4, 5 ja 6 pinnan leikkauspisteessä.Sanokaamme nyt, että todennäköisyys vierittää 4, 5 tai 6 uudelle ja parannetulle vinoille suulakkeillemme on nyt .2 ja todennäköisyys vierittää 1, 2 tai 3 on nyt .133. Se on sama kuolla kuusi kasvoa, yksi numero kummallakin puolella ja tämän kuoleman keskiarvo on edelleen 3,5. Kuitenkin sen jälkeen, kun se on viety monta kertaa, EV on nyt 3,8, koska tapahtumien todennäköisyydet eivät enää ole samat kaikille tapahtumille. / p>
prob xp * x
0.133 1 0.13
0.133 2 0.27
0.133 3 0.40
0.200 4 0.80
0.200 5 1.00
0.200 6 1.20
EV = summa (p * x) = 3.80
Olkoon taas Ole varovainen ja palaa määritelmään, ennen kuin päätät, että yksi asia on aina ”sama” kuin toinen. Katsokaa, kuinka normaali muotti on asetettu, ja poraa reikä 7 muuhun kulmaan ja näe, kuinka EV: t muuttuvat – pidä hauskaa.
Bob_T
Vastaa
Ainoa ero keskiarvon ja odotetun arvon välillä on se, että keskiarvoa käytetään pääasiassa taajuusjakautumiseen ja odotusta todennäköisyyksien jakautumiseen. Taajuusjakaumassa näytetila koostuu muuttujista ja niiden esiintymistiheyksistä. Todennäköisyysjakaumassa näytetila koostuu satunnaisista muuttujista ja niiden todennäköisyydestä. Nyt tiedämme, että kaikkien muuttujien todennäköisyyden näytetilassa on oltava = 1. Tässä piilee perusero. Odotuksen nimittäjän termi on aina = 1. (ts. summaus f (xi) = 1) Ei kuitenkaan rajoituksia taajuuden yhteenlaskemiselle (joka on periaatteessa merkintöjen kokonaismäärä).