Miksi planck ' -yksiköiden kaavat käyttävät h: tä hbar: n sijaan?

Answers.com -sivu mainittu käyttää seuraavaa kaavaa: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Huomaa, että nimittäjässä on $ 2 \ pi $ -kerroin – joten $ h / 2 \ pi $ voidaan yksinkertaistaa kuten tavallinen $ \ hbar $. He eivät todennäköisesti pysty kirjoittamaan tätä merkkiä tai halusivat välttää terminologiaa ja symboleja, jotka ovat vain fyysikkojen tiedossa. Mutta answer.com -sivulla ei ole numeerista virhettä. Yllä oleva määritelmä vastaa joka tapauksessa $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$, joka on tavallinen ”vähentämätön” Planckin pituus. Katso sama kaava Wikipediasta:

http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length

Numeerisesti se on $ 1,6 \ kertaa 10 ^ {- 35} $ metriä. (Päivitys: Oxfordin englanninkielisessä sanakirjassa on väärä kaava – he jättivät $ 2 \ pi $ ja unohtivat ylittää myös $ h $. Mutta ne tarkoittavat selvästi samaa Planckin pituutta.) Joskus ihmiset käyttävät myös ”supistettua” Planckia pituus, joka on hienostuneempi ja tavallaan ”ammattimaisempi”: $$ L_ {Planck, alennettu} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Huomaa, että $ 8 \ pi $ Osoittaja voidaan myös yhdistää $ \ hbar $: n kanssa saadakseen $ 4h $ takaisin – joten pienennetty Planckin pituus on kaksi kertaa (neliöjuuren takia) väärä Planckin pituus, jonka saisit käyttämällä $ h $: ta $: n sijasta \ hbar $. Mutta mikä on todellinen syy siihen, miksi $ 8 \ pi $ lisättiin sinne?

Syy, miksi $ 8 \ pi G $ näkyy $ G $: n sijasta, johtuu siitä, että jossain mielessä $ 8 \ pi G $ on luonnollisempi vakio kuin $ G $: tämä keskustelu on samanlainen kuin $ 4 \ pi $: n käsittely elektrodynamiikassa. Vakio $ 8 \ pi G $ on luonnollista, koska Einstein-Hilbert-toiminto on $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ The luonnollisin kerroin olisi $ 1/2 $ eikä $ 1/16 \ pi G $, mikä tekee luonnolliseksi asettaa $ 8 \ pi G = 1 $. Pienennetty Planckin pituus on jonkin verran pidempi (noin viisi kertaa) – vähemmän erittäin pieni. Vielä useammin hiukkasfyysikot puhuvat Planckin energiasta ja vähennetystä Planck-energiasta, jotka ovat lähellä $ 10 ^ {19} $ ja $ 10 ^ {18} $ GeV, vastaavasti.

Vakion $ yleissopimus G $ valitsi alun perin Newton, joka halusi kirjoittaa painovoiman muodossa $ GMm / r ^ 2 $. Olisi luonnollisempaa, että tekijässä $ 4 \ pi $ tai $ 8 \ pi $ olisi nimittäjä, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Voit nähdä, että $ \ Gamma $ on yksinkertaisesti $ \ Gamma = 8 \ pi G $, ja olisi luonnollista asettaa $ \ Gamma $ yhdeksi.

Toivon, että minulla ei ole selittää, miksi $ \ hbar $ on luonnollisempaa kuin $ h $ aikuisten fyysikoiden kannalta. Kaavojen ”maallikot” versiot voivat olla yksinkertaisempia $ h $: lla – mutta ne käsittelevät aallonpituutta jne. Aikuiset fyysikot tietävät, että sinin aallonpituus on verrannollinen dollariin $ 2 \ pi $. Ja kaikkein perustavanlaatuisimmat yhtälöt, kuten Schrödingerin yhtälö tai $ [x, p] $: n kommutaattorit, ovat yksinkertaisemmassa muodossa $ \ hbar $ kuin $ h $, kurssi.

Takaisin kohtaan $ G $: ihmisten oli valittava tapa, jolla normalisoidaan $ G $ korkeammissa ulottuvuuksissa. Tavanomainen käytäntö, kuten yllä implisiittisesti on käytetty, on, että Einstein-Hilbert-toiminnolla on aina kerroin $ 1/16 \ pi G $. Tämä tarkoittaa, että avaruusdimensioissa $ D $ voima ei ole $ GMm / r ^ {D-2} $, mutta siinä on joitain $ D $: sta riippuvia numeerisia kertoimia.

Paras toivoo Lubosia

Kommentit

• Paljon kiitoksia Lubokselle! Ymmärrän, että Planck ' s vakio siellä tavalla tai toisella (hbarilla tai h yli 2 pi).Näen kuitenkin ristiriidan Wikipedian ' yhtälön ja Oxfordin dict ' -yhtälön välillä, koska I ' olemme päivittäneet kysymyksen näytettäväksi.
• Kiitos päivityksestä, väärä käyttäjänimi. Oxfordin sanakirjassa on virhe – he unohtivat leikata $ h $ joko riittämättömien fonttien tai epäpätevien kirjoittajien takia. Haha.

Sen on liityttävä kirjoittamiseen. Luonnollisissa (Planckin) yksiköissä on hbar = 1, ei h = 1.