Tämä on heikko tarkkuus – mutta yksinkertainen – vastaus

Sen avulla voit laskea vain planeettojen radiaalisen kohdistuskokoonpanon.

Jos haluat likiarvon, sanotaan, että arvioit planeettojen sijainnin kuten kädet kellossa, voit ratkaista matematiikan tällä tavoin.

Oletetaan, että $ \ theta_i $ on planeetan $ i $ alkukulma kerrallaan $ t_0 $ – mitattuna mielivaltaisesta, mutta kiinteästä sijainti, ja $ l_i $ on vuoden i – päivä päivät – planeetalle $ i $.

Sitten se jatkaa tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisemista:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Täältä sovellat sitten yksinkertaisesti kiinalaisen jäännöslauseen .

Minimimerkin x löytäminen antaa sinulle kulman, jonka planeetta, jolla $ t_0 $: lla oli kulma $ \ theta_i = 0 $, olisi kulkenut, kunnes kohdistuksen kokoonpano on saavutettu. A Yhteenvetona valitset maapallon mainituksi planeetaksi, jaa sitten kulma täydellä kierroksella ($ 360 ^ {o} $) ja saat vuosien lukumäärän kyseisen kokoonpanon saavuttamiseksi – $ t_0 $ -kokoonpanosta.

Eri $ \ theta_i $ asteina kaikilla planeetoilla 1. tammikuuta 2014 – voit käyttää tätä $ t_0 $: na:

\ begin {align} Elohopea & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturnus & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {tasaa}

Lähde

Eri $ l_i $ päivinä kaikille planeetoille:

\ begin {align} Elohopea & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365,26 Mars \ div

Oikea vastaus on ” never ”, usealle syyt. Ensimmäinen , kuten Florinin kommentissa todetaan, planeetan kiertoradat eivät ole tasotasoja eivätkä siten voi mahdollisesti kohdistaa , vaikka kukin planeetta voitaisiin sijoittaa mielivaltaisesti kiertoradalleen. Toinen , edes puhdasta säteittäistä suuntausta ei koskaan tapahdu, koska planeetan jaksot eivät ole vertailukelpoisia – niiden suhdeluvut eivät ole järkeviä lukuja. Lopuksi , planeetat ”kiertoradat kehittyvät miljoonien vuosien ajassa, lähinnä niiden keskinäisen painovoiman vuoksi. Vedä. Tämä kehitys on (heikosti) kaoottista ja siten arvaamatonta hyvin kauan.

Harogastonin väärä vastaus lähinnä kiertoratajaksoja lähinnä lähimmät samankaltaiset numerot, jotka tuottavat hyvin kauan (vaikka hän teki sen väärin kertoimella vain $ 10 ^ {16} $).

Paljon mielenkiintoisempi kysymys (ja ehkä se, josta olit todella kiinnostunut) ) kuinka usein 8 planeettaa kohdistuu melkein säteittäisesti . Tässä ” melkein ” voi tarkoittaa yksinkertaisesti ” $ 10 ^ \ circ $: n sisällä auringosta katsottuna ”. Tällaisessa tilanteessa planeettojen keskinäinen painovoima kohdistuu ja johtaa siten voimakkaampiin kiertoradan muutoksiin kuin keskimäärin.

Mikä tahansa arvio useamman kuin kahden planeetan yhteisestä jaksosta (ts. kuinka monen ajan kuluttua ne suunnilleen suuntautuvat jälleen heliosentriseen pituusasteeseen?), riippuu erittäin voimakkaasti siitä, kuinka suuri poikkeaminen täydellisestä suuntauksesta on hyväksyttävää.

Jos planeetan $ i $ jakso on $ P_i $ ja jos hyväksyttävä poikkeama ajassa on $ b $ (samoissa yksiköissä kuin $ P_i $), niin yhdistetty jakso $ P $ kaikki $ n $ planeetat ovat noin $$ P \ noin \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$, joten hyväksyttävän poikkeaman pienentäminen kertoimella 10 tarkoittaa yhteisen jakson kasvattamista 10 dollaria ^ {n-1} $, joka kahdeksalle planeetalle on kerroin 10000000. Joten on merkityksetöntä lainata yhteistä jaksoa, jos et määritä myös, kuinka suuri poikkeama oli hyväksyttävä. Kun hyväksyttävä poikkeama laskee 0: een (”täydellisen kohdistuksen saavuttamiseksi”), niin yhteinen jakso kasvaa äärettömään. Tämä vastaa useat kommentoijat ”väittivät, että yhteistä jaksoa ei ole, koska jaksot eivät ole oikeassa suhteessa.

Planeettojen” jaksot, jotka on listannut harogaston, $ \ prod_i P_i \ noin 1,35 \ kertaa10 ^ 6 $, kun $ P_i $ mitataan Julianus-vuosina 365,25 päivää, joten yleinen jakso vuosina on noin $$ P \ noin \ frac {1.35 \ kertaa10 ^ 6} {b ^ 7} $$, jos $ b $ mitataan myös vuosina. Jos jaksot ovat likimääräisiä lähimpään päivään, niin $ b \ noin 0,00274 $ vuotta ja $ P \ noin 1,2 \ kertaa10 ^ {24} $ vuotta. Jos jaksot on arvioitu lähimpään 0,01 päivään, niin $ b \ noin 2,74 \ kertaa10 ^ {- 5} $ ja $ P \ noin 1,2 \ kertaa10 ^ {38} $ vuotta.

Edellä olevan kaavan johdanto on seuraava:

Arvioi planeetat ”jaksot perusyksikön $ b $ kerrannaisilla: $ P_i \ noin p_i b $ missä $ p_i $ on kokonaisluku. Sitten yhteinen jakso on korkeintaan kaikkien $ p_i $ tulo. Tuote mitataan edelleen $ b $: n yksikköinä; meidän on kerrottava $ b $: lla palataksemme alkuperäisiin yksiköihin. Joten , yhteinen ajanjakso on noin $$ P \ noin b \ prod_i p_i \ noin b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

Yllä olevassa johdannassa ei oteta huomioon, että $ p_i $: lla saattaa olla yhteisiä tekijöitä, joten tasaus tapahtuu aikaisemmin kuin $ \ prod_i p_i $ ehdottaa. Kuitenkin kahdella $ p_i $: lla on yhteisiä tekijöitä vai ei, riippuu vahvasti valitusta perusajasta $ b $, joten se on käytännössä satunnaismuuttuja eikä vaikuta $ P $: n globaaliin riippuvuuteen $ b $: sta.

Jos ilmaisette hyväksyttävän poikkeaman kulmalla eikä ajalla , odotan, että saat vastauksia, jotka riippuvat hyväksyttävän poikkeaman koosta vahvasti kuten yllä olevassa kaavassa.

Katso $ P $ -diagrammi http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html $ b $: n funktiona kaikille planeetoille, Pluto mukaan lukien.

MUOKKAA:

Tässä on arvio, jonka poikkeama on hyväksyttävä kulman suhteen. Haluamme, että kaikki planeetat ovat leveyspiirin $ δ $ keskellä ensimmäisen planeetan pituusastetta; ensimmäinen planeetta on vapaa. Oletamme, että kaikki planeetat liikkuvat samaan suuntaan samansuuntaisilla pyöreillä kiertoradoilla auringon ympäri.

Koska planeetat ” jaksot eivät ole oikeassa suhteessa, kaikki planeettojen pituusasteiden yhdistelmät tapahtuvat samalla todennäköisyydellä. Todennäköisyys $ q_i $, että planeetan $ i > 1 $ pituus tietyllä ajanhetkellä on planeetan 1 pituuspiiriin keskitetyn osuuden $ δ $ sisällä, on yhtä suuri arvoon $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Todennäköisyys $ q $, että planeetat 2 – $ n $ ovat kaikki samalla pituussegmentillä, jonka keskipiste on planeetalla 1, on $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ vasen (\ frac {δ} {360 °} \ oikea) ^ {n-1} $$

Tämän todennäköisyyden kääntäminen keskimääräinen jakso, meidän on arvioitava, kuinka kauan kaikki planeetat ovat linjassa ($ δ $: n sisällä) aina, kun ne kaikki ovat linjassa.

Kaksi ensimmäistä planeettaa, jotka menettävät keskinäisen suuntauksensa, ovat nopeimpia ja hitaimpia planeettojen. Jos heidän synodiajanjaksonsa on $ P _ * $, ne ”ovat linjassa tietyn ajanjakson $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ kanssa ja sitten jonkin aikaa poissa linjasta ennen kuin ne tulevat uudelleen kohdakkain Joten kaikkien planeettojen jokainen kohdistus kestää noin välin $ A $, ja kaikki nämä suuntaukset yhdessä kattavat murto-osan $ q $ koko ajan. Jos keskimääräinen jakso, jonka jälkeen kaikkien planeettojen toinen kohdistus tapahtuu, on $ P $, meillä on oltava $ qP = A $, joten $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ vasen (\ frac {360 °} {δ} \ oikea) ^ {n-2} $$

Jos planeetoja on vain kaksi, niin $ P = P _ * $ riippumatta $ δ $: sta, mikä on odotettua.

Jos planeettoja on paljon, nopein planeetta on paljon nopeampi kuin hitain, joten $ P _ * $ on melkein yhtä suuri kuin nopeimman planeetan kiertorata.

Myös tässä arvio keskimääräisestä ajasta peräkkäisten kohdistusten välillä on hyvin herkkä valitulle poikkeamarajalle (jos mukana on enemmän kuin kaksi planeettaa), joten on merkityksetöntä lainata tällaista yhdistettyä jaksoa jos et myöskään mainitse mitä poikkeama oli sallittua.

On myös tärkeää muistaa, että (jos planeettoja on enemmän kuin kaksi) näitä kaikkia (lähellä) kohdistuksia ei tapahdu säännöllisesti aikavälit.

Liitä nyt joitakin numeroita. Jos haluat kaikkien 8 planeetan kohdistuvan yhden pituusasteen sisällä, kahden tällaisen suuntauksen keskimääräinen aika on suunnilleen yhtä suuri kuin nopeimman planeetan $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ kiertorata. Elohopea on aurinkokunnassa nopein planeetta, jonka jakso on noin 0,241 vuotta, joten keskimääräinen aika kaikkien 8 planeetan kahden linjauksen välillä yhden pituusasteen sisällä on noin $ 5 × 10 ^ {14} $ vuotta.

Jos olet jo tyytyväinen suuntaukseen, joka on 10 asteen pituusasteessa, kahden tällaisen kohdistuksen välinen keskimääräinen jakso on suunnilleen yhtä suuri kuin $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ elohopean kiertoradat, mikä on noin 500 miljoonaa vuotta.

Mikä on paras suuntaus, jota voimme odottaa seuraavien 1000 vuoden aikana? 1000 vuotta on noin 4150 elohopean kiertorataa, joten $ (360 ° / δ) ^ 6 \ noin 4150 $, joten $ δ \ noin 90 ° $. Satunnaisesti valitun 1000 vuoden välein kaikkien 8 planeetan keskimääräinen suuntaus on 90 °: n segmentin sisällä.

Teknisesti todellinen tapa löytää kaikkien 8 planeetan linjauksen välinen aika on löytää kaikkien niiden 8 pituisen LCM.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Ymmärrän, että tämä on karkea arvio, koska nämä pyöristetään lähimpään kokonaislukuun, mutta se antaa hyvän idean päivien määrästä.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Se on kuinka monta vuotta.

Kommentit

• Tämä näyttää olevan sama menetelmä, joka on kuvattu kohdassa Caters ’ s vastaus r .