Mitä eksponentiaalinen termi Fourier-muunnoksessa tarkoittaa?

Se on monimutkainen eksponentiaali, joka pyörii ikuisesti kompleksitason yksikköympyrässä:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Voit ajatella Fourier-muunnosta laskevana korrelaatio $ f (t) $ ja kunkin taajuuden kompleksisen eksponentin välillä vertaamalla niiden samankaltaisuutta. Tällaisilla monimutkaisilla eksponentteilla on hyvä laatu, että ne voivat olla ajallisia siirretään kertomalla ne monimutkaisella määrällä yksikkömagneja tude (vakio monimutkainen eksponentiaalinen). Jos Fourier-muunnoksen tulos tietyllä taajuudella on ei-reaalinen kompleksiluku, niin kyseisen taajuuden kompleksinen eksponentti voidaan kertoa tällä kompleksiluvulla, jotta se siirtyy ajassa niin, että korrelaatio $ f (t) $ on maksimoitu.

Jos et halua ajatella kuvitteellisia lukuja, kompleksilukuja ja funktioita, voit vaihtoehtoisesti ajatella FT: n kompleksista eksponentiaalista vain lyhenteenä sekä siniaallon että kosini-aallon (samalla taajuudella) yhdeksi toiminnoksi, joka vaatii vähemmän liitutaulua kirjoita.

Onko se Fourier-muunnos vai Laplace-muunnos vai Z-muunnos jne., eksponentti on lineaaristen ja aikainvarianttien (LTI) operaattoreiden ominaisfunktio . jos eksponentiaalinen ”ajan” funktio menee LTI: hen, sen kaltainen eksponentiaalinen (mutta ominaisarvon mukaan skaalattu) tulee ulos. mitä F.T. ei, hajottaa yleisen funktion näiden eksponenttien summaksi. joka voidaan nähdä katsomalla käänteinen Fourier-muunnos.

Fourier-muunnos:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

muuntaa funktion harmonisten funktioiden integraaliksi. Voit ajatella näitä synteinä ja kosinuskoina, koska $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. Fourier-muunnos Fourier-sarjan jatkuvana muotona, joka muuntaa minkä tahansa jaksollisen signaalin muiden todellisten jaksollisten (harmonisten) signaalien summaksi:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

Fourier-muunnoksessa voit ajatella kertoimia $ a_n $ ja $ b_n $ menee jatkuvan funktion arvojen yli. Vertailun jatkamiseksi sarjassa on monimutkainen versio:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

kommentit

• Yritä pitää kiinni yhdestä riippumattomasta muuttujasta, joko $ t $ tai $ x $, mutta älä molemmista. Yritä lisäksi löytää parempi sana kuin ’ hearken ’, joka ei ’ Tällä ei ole mitään järkeä.
• Sinulta puuttuu myös $ \ omega $ sinusoidien ja eksponenttifunktion argumenteissa: $ \ cos (n \ omega t) $ jne.
• @MattL. Tarvitsenko $ \ omega $? Fourier-muunnoksessa on $ e ^ {i \ omega t} $, mutta sarjassa ” $ n $ ” tulee paikka / $ \ omega $. Eikö ’ ole totta?
• Ei, $ \ omega = 2 \ pi / T $, jossa $ T $ on $ f (t) -jakso. $, ts. ellei $ T = 2 \ pi $ tarvitset $ \ omega $.
• Ok. Ymmärrän mitä tarkoitat.

Harkitse tapausta $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Sitten

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Kun $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , molemmat integraalit värähtelevät nollan ympäri ja integraalit ovat käytännössä nollia.Ainoat nollasta poikkeavat tulokset ovat

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ rajoittaa _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ rajoittaa _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

joka ilmaistaan usein nimellä $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ iso (\ omega – (- \ omega_0) \ iso) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

Sanalla, mikä tahansa argumentin arvo $ \ omega $ , $ e ^ {- i \ omega t} $ kertoo tekijän $ f (t) $ komponentin tällä taajuudella arvoon $ 0 $ ja kaikkiin muihin komponentteihin pois nollasta. Sitten ääretön integraali tuottaa komponentin voimakkuuden mittasuhteessa $ 0 $ .

Huomaa, että jos $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , sitten $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Tämä tarkoittaa itse asiassa sitä, että $ \ omega_0 $ -merkki voidaan yksiselitteisesti johtaa funktiosta $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Sitä ei voida päätellä arvosta $ \ cos (\ omega_0 t) $ , koska se on trigonometrisesti identtinen $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . Fourier-muunnos käsittelee tämän epäselvyyden antamalla nollasta poikkeavat vastaukset sekä $ \ omega = \ omega_0 $ että $ \ omega = – \ omega_0 $ . Tämä ei tarkoita sitä, että $ \ cos (\ omega_0 t) $ sisältää molemmat taajuudet, koska $ \ omega_0 $ voi olla vain yksi arvo. Oikea tulkinta on, että $ e ^ {i \ omega_0 t} $ sisältää enemmän tietoa kuin vähintään $ \ cos (\ omega_0 t) $ . Kaava $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ näyttää lisätietoja, mutta se on itse asiassa peruutus tietoja.

Kommentit

• ” Tämä ei tarkoita $ cos (\ omega_0 t) $ sisältää molemmat taajuudet, koska $ \ omega_0 $: lla voi olla vain yksi arvo. ” Ei. Kosini on kahden kompleksisen puhtaan vastakkaisten taajuuksien (kahden erillisen arvon) summa. Mitä ’ ei voi kertoa, on $ \ omega_0 $ -merkki. Kumpikin on kelvollinen tulkinta, samanlainen kuin neliöjuuren valitseminen. Joten sopimuksella todellisten puhtaiden sävyjen taajuuksia pidetään positiivisina.
• @Cedron – Tarkastellaan funktiota $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ Ja $ \ \ siksi \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Pitäisi päätellään, että $ x ^ 2 $ on jotain muuta kuin vain funktio reaalilukurivillä? Se koostuu salaa kahdesta monimutkaisesta toiminnosta? Jos niin, mitkä kaksi? … koska olisin voinut yhtä helposti määritellä $ f (x) $ kuin $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Tämä ei ole ’ t funktioiden hajoamisesta. Olisit voinut yhtä helposti sanoa $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ yhtä tarkkana argumenttina. Lauseke ” sisältää molemmat taajuudet ” on FT: n yhteydessä (jatkuva tässä tapauksessa). Jos $ cos $: lla olisi vain yksi taajuus, spektrissä olisi vain yksi nollasta poikkeava arvo.
• Minun mielestäni ei ole järkevää väittää, kuinka monia taajuuksia, jotka yleinen signaali sisältää, sovimatta siitä, mitä tarkoitetaan ” kohtuullisella ” hajotuksella jaksollisiksi funktioiksi. Taajuus on silloin vain lyhyt lauseke taajuuden jaksolliselle komponentille . Kohtuullinen hajoaminen ei sisällä esimerkiksi komponentteja, jotka kokonaan peruuttavat toisensa, tai komponentteja, jotka ovat identtisiä.
• @Olli – Kiitos toimituksellisesta avusta deltassani. Luulin, että se ei ’ näyttänyt aivan oikealta, mutta en tiennyt ’ tiennyt miksi. div>