Näen jatkossakin undergrad-taloustunnissani käytettyjä termejä ensimmäisen ja toisen asteen ehdot tuotantotehtävistä, monopoleista jne., mutta minulla ei ole aavistustakaan mitä nämä termit tarkoittavat. Se tuntuu täysin epäselvältä termiltä. Millaiset olosuhteet?
Voiko joku selittää, mitä nämä termit tarkoittavat? Jos se on kontekstiriippuvainen, jos jotkut niistä kaikkein alkeellisimmista merkityksistä liität termiin.
Vastaa
Oletetaan, että sinulla on erilainen funktio $ f (x) $, jonka haluat optimoida valitsemalla $ x $. Jos $ f (x) $ on hyöty tai voitto, sinun on valittava $ x $ (eli kulutuspaketti tai tuotettu määrä), jotta $ f $: n arvo olisi mahdollisimman suuri. Jos $ f (x) $ on kustannusfunktio, sinun on valittava $ x $, jotta $ f $ olisi mahdollisimman pieni. FOC ja SOC ovat olosuhteita, jotka määrittävät, maksimoiko ratkaisu tietyn toiminnon vai minimoiko se sen.
Undergrad-tasolla yleensä tapahtuu, että sinun on valittava $ x ^ * $ siten, että $ f $: n johdannainen on nolla: $$ f ”(x ^ *) = 0. $$ Tämä on FOC. Tämän ehdon intuitio on, että funktio saavuttaa ääripäänsä (joko maksimi tai pienin), kun sen johdannainen on nolla (katso alla oleva kuva). [Sinun tulisi olla tietoinen siitä, että on enemmän mukana olevat hienovaraisuudet: etsi lisää termeistä, kuten ”sisätilat vs kulmaratkaisut”, ”globaali vs paikallinen enimmäis- / vähimmäisarvot” ja ”satulapiste”.
Kuitenkin, kuten kuvassa havainnollistetaan, yksinkertaisesti $ x ^ * $ löytäminen, jossa $ f ”(x ^ *) = 0 $, ei riitä lopuksi että $ x ^ * $ on ratkaisu, joka maksimoi tai minimoi tavoitefunktion. Molemmissa kaavioissa funktio saavuttaa nollakaltevuuden arvolla $ x ^ * $, mutta $ x ^ * $ on maksimoija vasemmassa kuvaajassa, mutta pienennin oikeassa kaaviossa.
Jos haluat tarkistaa, onko $ x ^ * $ maksimointi vai minimointi, tarvitset SOC: n. Maksimoijan SOC on $$ f ”” (x ^ *) < 0 $$ ja minimisaattorin SOC on $$ f ”” (x ^ *) > 0. $$ Intuitiivisesti, jos $ x ^ * $ maksimoi $ f $, $ f $: n kaltevuus noin $ x ^ * $ pienenee. Ota vasen kaavio, jossa $ x ^ * $ on maksimoija. Näemme, että $ f $: n kaltevuus on positiivinen $ x ^ * $: n vasemmalla puolella ja negatiivinen oikealla. Siten $ x ^ * $ naapurustossa, kun $ x $ kasvaa, $ f ”(x) $ pienenee. Minimointityökalun intuitio on samanlainen.
Kommentit
- Mutta miksi sitä ' ei kutsuttu " Ensimmäinen johdannaistesti " on edelleen mysteeri minulle.
Vastaa
Esimerkiksi kun puhut voiton maksimointi voittofunktiosta $ \ pi (q) $ alkaen, enimmäisvaatimuksen pääedellytys on, että: $$ \ frac {\ partituali \ pi} {\ osittainen q} = 0 $$ Tämä on FOC (ensimmäinen järjestys
Jos haluat olla varma, että yllä löytämäsi on tosi enimmäismäärä, tarkista myös ”toissijainen” ehto, joka on: $$ \ frac {\ osittainen ^ 2 \ pi} {\ osallinen q ^ 2} < 0 $$ Tätä kutsutaan SOC: ksi (toisen asteen ehto).
Vastaus
Tavoitteena on löytää funktion paikallinen maksimi (tai minimi).
Jos f unction on erotettavissa kahdesti:
- ensimmäinen johdannaistesti kertoo sinulle, onko se paikallinen ääripää.
- toinen johdannaistesti kertoo, onko se paikallista maksimia vai minimiä.
Jos funktiota ei voida erottaa, voit tehdä yleisemmän äärimmäistesti .
Huomaa: algoritmia on mahdotonta muodostaa mielivaltaisen funktion globaali maksimiarvo .
Uusklassiset taloustieteilijät nimeävät nämä kaksi matemaattista menetelmää varmasti ensimmäisen asteen ehdoksi ja toisen asteen ehdot näyttävät tyylikkäiltä tai muista historiallisista syistä. Miksi käyttää nimeä, jota käytetään laajalti, kun voit vain muodostaa sellaisen?
Termiä käytetään myös rajoitetussa maksimoinnissa , kun he käyttävät Lagrange-kertoja -menetelmä ja Karush – Kuhn – Tucker -olosuhteet . Jälleen kerran en usko, että termiä käyttää muu kuin taloustieteilijä.