Ymmärrän sen, että jonkin massan jakauman gravitaation sitova energia on sen gravitaatiopotentiaalienergian negatiivinen.
Yritin laskea jälkimmäisen kiinteälle pallolle, jonka säde on $ R $, massa $ M $ ja tasainen tiheys.
Kuorilause (tai Gaussin gravitaatiolaki) antaa kentän voimakkuuden $ r $ etäisyydelle pallon keskiosasta:
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ iso (\ frac {r} {R} \ iso) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
jossa $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ on massa, joka on suljettu palloon, jonka säde on $ r $.
Painovoimainen potentiel Tämän jakauman luoma etäisyys $ r $ on siten
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Itsepainovoimainen potentielenergia on painovoiman potentielienergioiden summa $ U \ cdot dm $ yli kaikkien jakelun massaelementtien $ dm $.
Jatketaan kuoren integrointia. Sisäisen säteen $ r $, ulkosäteen $ r + dr $ kuoressa oleva massa on yksinkertaisesti
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Oman potentiaalisen energian pallo on siis
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ iso (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ iso) \ iso (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ iso) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
joka on täsmälleen puolet oikeasta vastauksesta.
Tarkistin työni useita kertoja yksinkertaisten virheiden varalta, mutta en näytä löytävän $ 2 $ -virheen lähdettä. Tämä saa minut uskomaan, että jotain on perusteellisesti vialla miten laskin energian.
Missä ongelma on?
Kommentit
- MathJaxissa ' käyttää \ isoa suurissa suluissa, mikä ' ei toimi. Käytä sen sijaan vastaavia \ left ja \ right. \ Big on kiinteä koko, kun taas \ vasen ja \ oikea skaalautuvat automaattisesti sulkujen sisältämän sisällön edellyttämään kokoon.
Vastaa
Kysymys on tavasta, jolla muodostat kuoret — tulivatko ne edellisten kuorien sisältä vai ulkopuolelta. Sitovalle energialle tämä tarkoittaa energiamäärää, joka tarvitaan kulkemaan kukin peräkkäinen kuori peräkkäin äärettömään. Siten potentiaali on laskettava suhteessa äärettömyyteen, ei alkuperään; potentiaalilausekkeesi viittaa siihen, että jokainen kuori alkaa alkuperästä ja laajenee olemassa olevan massan läpi säteelle $ r $ sen sijaan, että se yhdistyisi jo olemassa olevan ytimen ympärille ulkopuolelta. Laske siis potentiaali seuraavasti:
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Tämän pitäisi ratkaista tekijä kaksi.
Terminologian lisäksi luulen, että voimme sopia käsitteestä, minkä suuruus energiavälineistä, niin positiivisella tai negatiivisella ei ole suurta vaikutusta. Saadaksesi tuntuman yllä olevasta integraalista kuvitellaan vain yksi hiukkanen, joka vedetään sisään vielä muodostuvan pallon painovoiman avulla ( säde $ r $) pikemminkin kuin kuori. Kun hiukkanen tulee sisään äärettömyydestä, potentiaali, jonka se tuntee, on tavallinen Newtonin painovoima, kunnes se osuu pallon pintaan. massa $ dm $ lisätystä kuoresta tuntee myös saman potentiaalin; voimme ajatella kuorta olevan monia pieniä hiukkasia, jotka tulevat sisään kaikkiin suuntiin samaan aikaan. Joka kerta kun lisätään kuori tällä tavalla, $ r \ oikeanpuoleinen r + dr $, joten $ M_ {enc} $ kasvaa vastaavasti, jonka otamme huomioon integraalissa yli $ r $. Tämä on ristiriidassa kysymyksessä olevan raja-arvon $ [0, R] $ integraalin kanssa, koska tällainen integraali muistuttaa enemmän energiamäärää, joka se tarvitsisi massa-kuorien ”täyttämiseksi” alkuperästä ulospäin. Tällainen prosessi edellyttäisi pallon olevan täysin läpäisevä, kun kuoret täyttyvät pintaan, mutta jos näin olisi, koko pallo romahtaisi heti uudelleen itsensä jäykkyyden puutteen vuoksi.
Kommentit
- ok. Ensin en oikeastaan tiedä ' en tiedä mitä painovoiman sitova energia on. Tiedän vain mikä on potentiaalinen energia. Massajärjestelmän $ m_1, … m_N $ itsepotentiaalienergia on $ U_ {i, j} $: n summa kaikkien $ (i, j) $ -parien kanssa, joissa on $ i < j $ missä $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ ovat massojen $ m_i $ ja $ m_j $ välinen etäisyys. Tätä yritin laskea.
- Toiseksi integraalillasi ei ole minulle ' järkeä. $ M_ {enc} (r) $ on korvattava luvulla $ M_ {enc} (x) $ ei?
- Josh on oikeassa: teit väärän määrityksen sitoutumisenergiasta. Katso tämä Wikipedia-artikkeli täydestä laskennasta: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: Itse asiassa laskin itse painovoiman potentiel-energian, joka on vain sitoutumisenergian negatiivinen. Kuvasin edellä itsepotentiaalienergiaa eli yksinkertaisesti massan jakautumisen energiaa sen oman painovoimakentän vuoksi.
- Olen lisännyt vastaukseen selvennyksen, koska se ei ' ei sovi tähän kommentteihin. Olennainen ero kahdessa määrässämme on energiamäärä, joka liittyy kaikkien massabittien poistamiseen äärettömän kaukana toisistaan, verrattuna energian määrään, joka tarvitaan pitämään pallo romahtamasta itseensä. Ensimmäinen on painovoiman sitova energia (itsepotentiaalista johtuen), ja jälkimmäinen on enemmän osoitus asian vähimmäisjäykkyydestä.
Vastaus
On ongelmia siinä, miten lasket potentiaalia ja kuinka lasket gravitaation sitoutumisenergiaa.
Pallon sisällä oleva painovoimakenttä on säteittäisesti sisäänpäin ja suuruusluokka $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Pallon ulkopuolella oleva painovoimakenttä on säteittäisesti sisäänpäin ja suuruusluokkaa $ GM / r ^ 2 $.
Painovoimapotentiaali on massayksikköä kohden tehty työ, joka tuo massan äärettömästä dollariin $ r $.
Potentiaali säteellä $ r $ pallon sisällä on $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r ”^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr ”} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Kuitenkin tätä ei tarvita pallon sitoutumisenergian laskemiseen, koska painovoiman sitoutumisenergia on niiden energioiden summa, joita tarvitaan massakuorien poistamiseen pallon pinnalta äärettömyyteen ( Kuvittele, että kerrokset irtoavat pinnalta, kunnes saavut keskelle).
Potentiaali massapallon $ M ”$ pinnalla on $ -GM” / R ”$, jossa vakiotiheys $ \ rho = 3M ”/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Siten $$ V (R ”) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$ ja sitoutumisenergia on sama arvoon $ V (R ”) $ kerrottuna kuoren massalla, $ dM = 4 \ pi R ”^ 2 \ rho \ dR” $, integroitu massakuoriin nollasta tähden viimeiseen säteeseen.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R ”^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR ”$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$