Sanotaan, että jotenkin 100 dollaria (1- \ alfa) \% $ luottamusväli väestön keskiarvo $ \ mu $ tunnetaan nimellä $ (a, b) $ ja näytteiden lukumäärä on $ n $ . Voiko näistä tiedoista päätellä populaation keskiarvon ja populaation varianssin pistearvioita? Tässä tapauksessa oletetaan, että populaatio noudattaa normaalijakaumaa.
Yksi ajatus on, että koska populaation keskiarvon luottamusväli voidaan laskea, jos tiedämme näytekeskiarvon $ \ overline {x} $ ja populaation varianssin $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , me voi asettaa $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ ja ratkaise kohteelle $ \ overline {x} $ ja $ \ sigma $ . Varmasti tässä tapauksessa $ \ overline {x} $ voidaan käsitellä populaation keskiarvona. Entä $ \ sigma ^ {2} $ ? Onko tämä ”todellinen” väestövarianssi vai onko tämä vain ”pisteestimaatti” väestövarianssista? Olen todella hämmentynyt siitä, miten $ \ sigma ^ {2} $ tulisi tulkita tässä tapauksessa.
Vastaus
Voit johtaa $ \ bar {x} $ ja $ \ sigma ^ 2 $ , joka loi luottamusvälin, kyllä. Otoksen koon ja $ \ alpha $ -tason tunteminen on kuitenkin kriittinen asia, etkä voi ratkaista ongelmaa ilman näitä tietoja.
perustuva luottamusväli tarkoittaa tunnettua varianssia, jota käytetään luottamusvälin laskemisessa, joten kun käytät leveyttä varianssin ratkaisemiseen, ratkaiset todellisen varianssin $ \ sigma ^ 2 $ , ei arvio $ s ^ 2 $ . Jos luottamusväli on t-pohjainen, ratkaisisit parametrille $ s ^ 2 $ .
Z-pohjaisen luottamuksen leveys intervalli ei riipu tiedoista, koska tiedät väestövarianssin. Kun tiedät parametrin, älä vaivaudu arvioimaan sitä.
Kommentit
- Jos ymmärsin hyvin, vastaus riippuisi siitä, onko luottamusväli johdettiin z-pohjaisella menetelmällä tai t-pohjaisella menetelmällä. Kiitos vastauksestasi.
- Siitä syystä käytämme z-pohjaisia ja t-pohjaisia luottamusvälejä. Jos tiedä populaation varianssi, emme ' vaivaudu t-pohjaisten luottamusvälien kanssa, ja z-pohjaisen välin leveys määräytyy $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Kun emme ' tiedä populaation varianssia (melkein aina), arvioimme populaation varianssin $ s ^ 2 $: lla ja käytämme t-pohjaisia luottamusvälejä arvioon liittyvä epävarmuus (ts. sen huomioon ottaminen, että arviomme saattaa olla huono arvio).