Feynman-Kac-lause sanoo, että Ito-prosessille, jonka muoto on $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ on mitattava funktio $ g $ siten, että $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ sopivalla rajaehdolla $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Tiedämme myös, että $ g (t, x) $ on muotoa $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ iso | X_t = x \ right]. $$
Tämä tarkoittaa, että voin hinnoittaa vaihtoehdon, jossa on voittofunktio $ h (x) $, hintaan $ T $ ratkaisemalla differentiaaliyhtälö ottamatta huomioon stokastista prosessia.
Onko intuitiivinen selitys, kuinka Ito-prosessin stokastinen käyttäytyminen on mahdollista mallintaa differentiaaliyhtälöllä, vaikka differentiaaliyhtälössä ei ole stokastista komponenttia?
Kommentit
- Odotuksen sisällä ei pidä ' t laittaa $ h (X_T) $ sijasta $ h (X_t) $ ?
vastaus
Martingales + Markovian
Tässä on motivaatio. Ehdolliset odotukset ovat martingaleja ehdollisten odotusten tornin ominaisuuden perusteella (helppo harjoitus osoittaa). Oletetaan, että $ r = 0 $, riskineutraalin hinnoittelulauseen $ E ^ \ tähti \ vasen [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ oikea] $ arvo on minkä tahansa johdannaisen hinta arvopaperi, jonka kohde-etuutena on $ X $, ja takaisinmaksutoiminto $ h $, olettaen, että tällä hetkellä arvopaperi ja johdannainen eivät maksa välivaiheen kassavirtoja. Markovian-asetuksessa on oltava tapaus, että johdannaisen hinta on mitattava funktio vain nykyisen omaisuuserän hinnasta ja vain erääntymisaikaan, sanotaan funktio $ g (t, x) $. Sitten Ito: n lemma $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Koska $ g $ on (siirretty) martingale, drift-termin on oltava yhtä suuri kuin nolla . rajaehto ei tule sovittelusta, katso tämä huomaamalla, mikä on $ g (T, x) $ aluksi annetusta määritelmästä (muista mitattavuus kun otat ehdollista odotusta).
Kommentit
- Kiitos. Mikä on $ \ mathscr {F} _t $?
- Se on suodattimen sigma-algebra. fi.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – se täydentää vastaustani melko hyvin +1
- @Raphael – ajattele vain $ \ mathscr F_t $ ajankohtaan $ t $ saakka käytettävissä olevana tietona. Pystypalkki lukee " annettu " niin, että kun kirjoitat tuon odotuksen ennen sitä ' et ota lainkaan odotuksia ja se voi tulla samalla tavalla kuin vakio. Kuten $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. tässä kirjassa on suhteellisen hyvä selitys ehdolliselle odotukselle.
Vastaus
Feynman-Kac-lause on järkevä ensisijaisesti hintakontekstissa. Jos tiedät, että jokin funktio ratkaisee Feynman-Kac-yhtälön, voit edustaa sen ratkaisua prosessin odotuksena. ( luovuta tämä asiakirja )
Toisaalta hinnoittelutoiminto ratkaisee FK-PDE: n. Siksi yritetään usein ratkaista PDE saadaksesi suljetun hinnan kaava. ( antaa tämän sivu 22 alkaen alkava asiakirja )
Et simuloi stokastista prosessia Feynman-Kacia. Toisaalta voit käyttää stokastista prosessia ratkaisun löytämiseksi FK-PDE: lle ( katso täältä )
Muokkaa 26.02.2014: Löysin asiakirjan, joka yrittää selittää siirtymätiheyden ja FK-PD: n ( katso tästä sivusta 5 alkaen )
FK-Formula- ja Sturm-Liouville-yhtälöiden välillä on myös yhteys, jota voidaan käyttää hajotukseen Brownin poluista. ( katso tämä artikkeli )
Kommentit
- Kiitos linkeistä! Viestisi selittää useita sovelluksia ja käyttötapoja Feynman-Kac-lauseelle. Tärkein kiinnostukseni tässä vaiheessa on ymmärtää, miksi lause on totta, ts. Lauseen takana oleva intuitio.
- Ehdotan todisteita täältä: fi. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Todisteiden lukeminen auttaa usein ymmärtämään, kuinka lause syntyy. Vai oletko kiinnostunut selityksestä phyiskiläisten näkökulmasta?
Vastaa
Tapa, jolla ajattelen se on, että PDE kuvaa aikariippuvan todennäköisyysjakauman virtauksen. Stokastinen prosessi kuvaa yksittäisiä oivalluksia (satunnaisia kävelyjä ajelulla), mutta jos juoksit suuren määrän niistä, sinun tulisi rakentaa jakauma.
PDE kertoo kuinka tämä jakauma muuttuu ajassa (ensimmäinen termi) deterministisen ajautumisen (toinen termi) ja diffuusion (kolmas termi, joka on linkki ”paljon satunnaisia kävelijöitä” ja leviämisen välillä) vuoksi todennäköisyysjakauma, joka kuvaa kuinka pitkälle he ovat keskimäärin päässeet.) Todennäköisyysjakauma alkaa yleensä delta-funktiona tunnetun alkutilanteen vuoksi.
Kommentit
- Olen hieman hämmentynyt. Olemme saaneet hinnoittelutoiminnon $ g (t, x) $ PDE: n paitsi ajautumisesta ja volatiliteetista, FK-PDE: stä ei ole paljon tietoa, mitä voit jakaa
Vastaa
Lähestymme tätä vastausta kahdessa vaiheessa.
Ensinnäkin, Minusta on melko intuitiivista, että tietylle stokastiselle PDE: lle on olemassa deterministinen PDE, joka kehittää tiheyden myöhempään aikaan. Tämä yhtälö on eteenpäin suuntautuva Kolmogorov- tai Fokker-Plank-yhtälö. Miksi se on intuitiivinen? Yksi tietää myös Brownin liikkeen tulevan jakauman (määritelmän mukaan), miksi tämän pitäisi muuttua monimutkaisemmaksi stokastiseksi termiksi?
Toiseksi, kun saat eteenpäin lasketun yhtälön, matematiikan on myös tärkeää johdata siitä aikakäänteinen versio. Tämä on Feynman-Kac-yhtälö, ja se levittää jakaumaa taaksepäin ajassa.