Tiedän Heisenbergin epävarmuusperiaatteen mukaan, että ei ole mahdollista tietää tarkkoja hiukkasen sijainnin ja liikemäärän arvoja samanaikaisesti, mutta voimmeko tietää Luulisin, että vastaus olisi ei, koska vaikka olisimme 100% varmoja hiukkasen sijainnista, olisimme täysin epävarmoja hiukkasen liikemäärästä, mikä tekisi meistä myös täysin epävarma hiukkasen nopeudesta. Onko kellään käsitystä tästä?
Vastaus
On melko yleistä keskustella epävarmuusperiaatteen kahdesta ääripäästä, sinimuotoisesta ja delta-funktio. Yhdellä on täysin määritelty aallonpituus, mutta ei sijaintia, toisella on täysin määritelty sijainti, mutta ei aallonpituutta.
Kumpikaan näistä muotoista ei kuitenkaan ole hirvittävän fyysinen hiukkasen sijaintitoiminnolle. Todellinen sinimuotoinen aaltofunktio ulottuu kaiken avaruuden läpi, mikä on järjetöntä useista syistä (mukaan lukien muun aineen läsnäolo). Todellisella delta-funktiolla on yhtä todennäköistä vauhtia, mikä todennäköisesti rikkoo energiansäästöä. Nämä kaksi äärirajaa ovat matemaattisesti mielenkiintoinen, mutta ei fyysisesti merkityksellinen.
Kun otetaan huomioon kysymys ”Sitoako epävarmuusperiaate jonkin verran momenttia ja nopeutta määriteltäväksi?”, vastaus on ei.
Annettu kysymykseen ”Estääkö epävarmuusperiaate minua mittaamasta mitään muuttujaa äärettömällä tarkkuudella?”, vastaus on ei.
Ottaen huomioon kysymyksen ”Onko mitään estä minua mittaamasta ääretön tarkkuus? ”, vastaus on kyllä .
Joten kysymyksessäsi mainitaan” tarkat arvot ”, mikä on erittäin mielenkiintoinen, hankala aihe. (Onko koskaan mahdollista mitata tarkkaa arvoa? Kuinka erottaisimme?) Oletko todella utelias ”tarkkojen arvojen” suhteen? Oletko kiinnostunut siitä, missä Heisenbergin epävarmuusperiaate toimii ja mitä ei sovelleta? Vai oletko utelias, onko epävarmuusperiaatteen lisäksi mitoituskyvyllä muita rajoja?
Kommentit
- Kysyin vain, koska se kysyttiin testissä ja olin utelias tietämään vastauksen testin suorittamisen jälkeen. Tiedän, että epävarmuusperiaate käsittelee energiaa ja aikaa, ja sitten se käsittelee myös sijaintia ja liikemäärää. Joten ajattelin, että jos mitattaisimme hypoteettisesti sijainnin tarkalla varmuudella, olisimme täysin epävarmoja sen sijainnista, joten täysin epävarmat sen nopeudesta. Halusin tietää vain, jos epävarmuus sijainnista varmistaa epävarmuuden nopeudesta
- Jos jätämme huomioimatta relativistiset vaikutukset, nopeus ja liikemäärä ovat suoraan verrannollisia hiukkasen ’ s-lepomassa suhteellisuusvakiona, joten jos tunnet yhden tarkalleen, saat toisen ilmaiseksi.
Vastaa
Jos teoriassasi impulssioperaattori ja nopeusoperaattori ovat verrannollisia toisiinsa, niin kyllä. Yhden ominaisarvon tunteminen tarkoittaa muiden tuntemista. Näin on aina minkä tahansa ”tunnetun” operaattorin toiminnon kanssa.
Kommentit
- I ’ m fysiikan perusopinnoissa 3 Georgia Techissä, ottaen sen valinnaiseksi, joten en ole päässyt niin pitkälle ’. ’ Tulen varmasti tutkimaan sitä
Vastaa
Dirac-yhtälön nopeuden ominaisarvot ovat $ \ pm c $. Tämä on hyvin tiedossa, koska yhtälö löydettiin; katso Diracin kirja ”Kvanttimekaniikan periaatteet, 4. painos”, Oxford University Press, Oxford 1958, XI luku ”Elektronin relativistinen teoria”, osa 69, ”Vapaa elektronin liike”, sivu 262 Aikaisemmin se oli kvanttimekaniikan yleisesti opetettu tosiasia, mutta ymmärrän alaspäivät, nyt on mahdollista saada fysiikan tohtori tietämättä pienintäkään asiaa seuraavasta melko alkeellisesta laskelmasta. Osittain siitä lähtien, kun tätä ei enää opeteta paljon, johdanto on ilmestynyt viime aikoina kirjallisuudessa, katso esimerkiksi: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral värähtelyt zitterbewegung-vaikutuksen / hep-th / 0701091 suhteen yhtälön (11) ympärillä.
Aluksi huomautetaan, että nopeus on ajan muutoksen nopeus ja että voit määrittää ajan muutoksen nopeuden kommutaattorilla:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Jos yllä oleva näyttää olevan maagista, lue wikipedia-merkintä osoitteesta Ehrenfestin lause , joka kertoo periaatteen ja antaa samanlaisen tilanteen ei-relativistiselle kvanttimekaniikalle: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ ja niin $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (ei-relativistisessa tapauksessa) Siten ei-relativistiselle elektronimallille on mahdollista mitata samanaikaisesti nopeutta ja liikemäärää; niiden suhteellisuusvakio on massa. Mutta suhteellisuustasolla suhteellisuutta ei tapahdu joten tilanne on erilainen.
Jotta valtio olisi nopeuden ominaisvaltio, vaaditaan, että:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hattu {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac määritteli vapaan hiukkasen Hamiltonin arvoksi $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. Nykyaikaisessa merkinnässä $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ ja $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, kun taas $ p $ on tavallinen impulssioperaattori.
Huomaa, että Ainoa asia, joka ei liiku $ \ hat {x} $: lla, on momenttioperaattorin x-komponentti, joka antaa $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. yllä laskee arvoksi:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hattu {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Wikipedian valitsemalla gamma-matriisin esityksellä meillä on: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Ominaisarvot ovat saatu ratkaisemalla -ominaisuuspolynomi . Lasketaan siis matriisideterminantti ja asetetaan se nollaksi: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Jätän lukijan tehtäväksi osoittaa, että todellisia juuria on kaksi, $ \ pm c $ kukin järjestyksessä kaksi.
Dirac-yhtälön nopeuden ominaisarvoongelman neljä ratkaisua vastaavat oikean ja vasemman käden elektroneja ja positroneja. Toisin sanoen Dirac-yhtälön nopeusominaisuudet ovat tarkalleen vasen ja oikea käsi, joita käytetään edustamaan fermioneja vakiomallissa .
Kommentit
- On olemassa kaksi erillistä ongelmaa, jotka saattavat aiheuttaa alasäänestyksiä (en ’ ei vielä äänestänyt, korjaa). Ensinnäkin Dirac Hamiltonian on diskreditoidussa yhden hiukkasen kuvassa Dirac-yhtälöstä, jossa x on operaattori, joka kuvaa elektronin sijaintia. Oikeassa kenttoteoriakuvassa lähellä Fock-tiloja on vauhti, joka on p ja nopeus, joka on p / E aaltopaketissa, ja näillä kahdella määrällä voi olla samanaikaisia arvoja (tavallaan, koska hiukkaset eivät ole paikallisia). Toinen ongelma on, että nopeuden ominaisarvojen yhtälöllä on neljä ratkaisua (c, -c, ic, -ic).
- Kentän ongelmaan saakka teoria vs. QM menee, elektronin nopeusominaisuudet liittyvät zitterbewegungiin (zbw), joka on viime aikoina uusiutunut kiinteän tilan fysiikan tutkimuksen vuoksi.Joten en ’ ole varma, että se ’ diskreditoi, katso esimerkiksi zbw: n ja nopeuden ominaisvaltioiden keskustelu Eurossa. Phys. J.B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Okei, minä ’ m vahvistamalla ominaisarvon laskenta; Puhalsin determinantin.
- En ’ usko, että se ’ on täysin halveksittu, se tarvitsee vain keskustelua — zbw on positronitilojen ominaisuus, joka sekoittuu yksittäisen hiukkaskuvan elektronitilojen kanssa, sen elektroni zigging edestakaisin ajassa Feynman-kuvauksessa. Se ’ on fyysinen, mutta vain hiukkasdynamiikan Feynman-muodossa, ei niinkään kenttäteorian muodossa. Olen varma, että tämä on syy siihen, että monet ihmiset aliarvioivat Dirac eqnin yksittäisiä hiukkasia koskevat keskustelut. En ’ usko, että se on hölynpölyä, se sisältää paljon fysiikkaa, mutta se vaatii huolellista keskustelua.
Vastaus
Väite, jonka Heisenbergin epävarmuusperiaate kieltää, että voimme tietää tarkat hiukkasen momentin ja nopeuden arvot, on jo hylätty Feynmanin vanhassa oppikirjassa Quantumissa Elektrodynamiikka.
Kaksi havaittavaa voidaan määrittää samanaikaisesti, jos operaattorit matkustavat. Nopeuden ja impulssin vuoksi operaattorit liukuvat $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; he tekevät myös Dirac-aaltofunktioteoria Zitterbewegung-vaikutuksineen.