Onko näytteenotto taitetusta normaalijakaumasta vastaava näytteenotto normaalijakaumasta katkaistuna 0: lla?

Kyllä, lähestymistavat antavat samat tulokset nollakeskiarvo normaalijakaumalle.

Riittää tarkistaa, että todennäköisyydet sopia väleistä, koska ne muodostavat kaikkien (Lebesgue) mitattavien joukkojen sigma-algebran. Olkoon $ \ Phi $ normaali normaalitiheys: $ \ Phi ((a, b]) $ antaa todennäköisyyden siitä, että normaali normaalimuuttuja on välissä $ (a, b] $. Sitten $ 0 \ le a \ le b $, katkaistu todennäköisyys on

$$ \ Phi _ {\ text {katkaistu}} ((a, b]) = \ Phi ((a, b]) / \ Phi ([0, \ infty]) = 2 \ Phi ((a, b]) $$

(koska $ \ Phi ([0, \ infty]) = 1/2 $) ja taitettu todennäköisyys on

$$ \ Phi _ {\ text {folded}} ((a, b]) = \ Phi ((a, b]) + \ Phi ([- b, -a)) = 2 \ Phi ( (a, b]) $$

$ \ Phi $: n symmetrian vuoksi noin $ 0 $.

Tämä analyysi pätee mihin tahansa jakeluun, joka on symmetrinen noin $ 0 $: lla ja sen nollatodennäköisyys on $ 0 $. Jos keskiarvo on nolla , jakauma on kuitenkin ei symmetrinen ja nämä kaksi lähestymistapaa eivät anna samaa tulosta, kuten samat laskelmat osoittavat.

Tämä kaavio näyttää todennäköisyystiheysfunktiot normaalille (1,1) jakaumalle (keltainen), taitetulle Normaali (1,1) jakauma (punainen) ja katkaistu Normaali (1,1) jakauma (sininen). Huomaa, kuinka taitettu jakauma ei jaa tyypillistä kellokäyrän muotoa kahden muun kanssa. Sininen käyrä (katkaistu jakauma) on keltaisen käyrän positiivinen osa, joka on skaalattu yksikköpinta-alaksi, kun taas punainen käyrä (taitettu jakauma) on keltaisen käyrän positiivisen osan ja sen negatiivisen pyrstön summa (kuten heijastuu ympäri). y-akseli).

Kommentit

• Pidän kuvasta.

Olkoon $ X \ sim N (\ mu = 1, SD = 1) $. $ X | X > 0 $: n jakauma ei todellakaan ole sama kuin $ | X | $.

Pikatesti R: ssä

x <- rnorm(10000, 1, 1) par(mfrow=c(2,1)) hist(abs(x), breaks=100) hist(x[x > 0], breaks=100) 

Tämä antaa seuraavan.